Analyse de systèmes parabolique/Hamilton-Jacobi modélisant la dynamique de densités de dislocations en domaine borné

Hassan IBRAHIM (Ecole nationale des ponts et chaussées)

 

Résumé : Cette thèse porte sur l'étude théorique d'un modèle
mathématique provenant de l'étude de la dynamique de densités de
dislocations dans les cristaux de petite taille. Cette dynamique est
modélisée par un système non linéaire couplé
parabolique/Hamilton-Jacobi.
Les dislocations sont des lignes de défauts qui se déplacent
dans les cristaux lorsque ceux-ci sont soumis à des contraintes
extérieures. De facon
independente, tout à la fin de la thèse, nous présentons une méthode
numérique pour le transport de fronts.

Dans le coeur de la thèse, trois types d'équations sont considérées:
équations de Hamilton-Jacobi non linéaires, lois de conservation
scalaires, et équations
paraboliques singulières.

Nous traitons un système parabolique/Hamilton-Jacobi singulier où la
singularité apparaît par la présence de l'inverse du gradient.     
Notre système prend en considération l'effet à courte distance entre
dislocations, ainsi que la formation des couches limites. Nous étudions
l'existence, l'unicité et la régularité des solutions du système. Cette
étude repose en grande partie sur la théorie des solutions de viscosité;
des solutions entropique et des solutions  classiques. Deux cas
principaux sont considérés: le cas où les contraintes extérieures sont
nulles, et le cas où elles sont constantes (non nécessairement
nulles).

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Abstract : This thesis is concerned with the theoretical study of
a mathematical model arising from the study of the dynamics of
dislocation densities in crystals of small size. This dynamics is
modelized by parabolic/Hamilton-Jacobi nonlinear coupled
system. Dislocations are linear defects which move in crystals when
those are subjected to exterior stresses. Independently, at the
end of the thesis, we present, in a short chapter, a numerical method for
the transport of fronts.

In this thesis, three types of
equations are considered: non-linear first order Hamilton-Jacobi
equations, scalar conservations laws, and singular parabolic
equations.

We treat a singular parabolic/Hamilton-Jacobi system where the
singularity appears from the presence of the inverse of the
gradient. Our system takes into consideration the short range
dislocation-dislocation interactions, as well as the formation of
boundary layers. We study the existence, uniqueness and the regularity
of the solutions of this system. This study relies essentially on the
theory of viscosity solutions; the theory of entropy and classical
solutions. Two main cases are considered: the case of zero exterior
stresses, and the case of constant exterior stresses (not necessarily zero).

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