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1 Introduction

Nous souhaitons modéliser la pollution d'une “ville”, très schématisée. Pour cela nous créons un graphe représentant le réseau routier de la ville et ses caractéristiques. Sur ce réseau, nous générons et affectons un trafic routier et calculons les émissions de polluants dues à la circulation automobile.

2 Reseaux et graphes avec metanet et scilab

2.1 Les graphes et Metanet

Un graphe est un objet caractérisant un réseau composé de noeuds¹ et d'arcs, incluant une description de leurs propriétés. Metanet est un outil graphique de gestion et de calcul sur les graphes. Un graphe se définit et s'utilise selon deux approches, par des lignes de commandes sous Scilab ou par l'interface graphique de Metanet. Le cas échéant, la description des fonctions propres à Metanet et aux graphes est disponible dans l'aide de Scilab à la rubrique Metanet : graph and network toolbox.

2.2 Structure des graphes

Un graphe est une liste de 34 vecteurs de tailles différentes, décrite dans le tableau (2.1).

2.3 Exemple de création d'un graphe avec Metanet

1. Ouvrir, sous Scilab, l'application Metanet par la commande
   metanet()

2. Ouvrir un nouveau graphe (files/new), le nommer avec une extension .graph et le choisir orienté.
3. Créer un graphe de deux noeuds avec un arc orienté. Réponse .

2.4 Exemple de création d'un graphe directement sous scilab

1. Créer un graphe similaire par des lignes de commandes sous scilab et l'afficher sous Metanet. Réponse .

3 Modélisation d'une ville et du trafic sous forme de graphe

3.1 Description de la ville

La ville, de cent mille habitants, que nous souhaitons modéliser est schématiquement constituée de 5 zones : un centre urbain (5), constituant une zone de travail et quatre zones périphériques résidentielles. On représentera uniquement le réseau routier inter-zonal, ne considérant pas le trafic intra-zonal. Les zones est (2) et ouest (1) sont reliées au centre par des autoroutes de capacité maximale de 15 000 véhicules par heure. Les zones nord (3) et sud (4) sont reliées au centre par des voies express de capacité maximale 6 000 véhicules/heure. Les échanges entre les zones résidentielles peuvent être représentés par une ceinture périphérique à sens unique de capacité maximale 4 000 véhicules/heure.

1. Créer par Metanet le graphe correspondant au réseau de la ville, le nommer ville.graph. Réponse .

3.2 Génération du trafic

On évalue les coefficients d'émissions E_i et les coefficients d'attractions A_i de déplacements pour la zone i. Les émissions sont modélisées par des fonctions linéaires de la population de la zone p_i et du nombre d'actif a_i. Les attractions sont modélisées par des fonctions linéaires de l'emploi total de la zone e_i. Les coefficients des fonctions linéaires sont obtenus par régression linéaire sur des mesures réelles de trafic.

(1)

1. Créer le vecteur E = (E₁,...,E₅) donnant les émissions pour toutes les zones en utilisant les tableaux 2 et 3.
2. Créer le vecteur A = (A₁,...,A₅) donnant les attractions pour toutes les zones en utilisant les tableaux 2 et 3. Réponse .

3.3 Distribution du trafic

Le trafic journalier entre deux zones est fonction de l'émission et l'attraction des zones. On note T_ij le trafic journalier depuis la zone i vers la zone j. On utilise une fonction de type gravitaire pour distribuer le trafic (2) où d_ij est la distance entre deux zones données dans le tableau 4, k et γ des coefficients de régression. On a k = 4.10⁻⁵ et γ = 1∕4.

(2)

1. Créer la matrice 5 ∗ 5 donnant les T_ij. Réponse .

3.4 Affectation du trafic

Le trafic T_ij calculé entre deux zones est maintenant affecté à la voirie. En effet, il existe plusieurs chemin possible entre deux zones, sachant que le plus intéressant est le plus rapide dans la limite de la capacité de la voie. Il faut utiliser un algorithme de plus court chemin prenant en compte les capacitées maximales des voies. On utilise la fonction min_lcost_cflow() de Metanet.

1. Charger le graphe ville.graph sous Scilab.
2. Affecter le trafic T₁₂ et déterminer les flux générés sur les arcs. En déduire les capacitées maximales restantes à réintroduire dans le graphe.
3. En déduire, par une itération permettant d'affecter tous les T_ij, les flux totaux sur les tronçons. Les visualiser sous Metanet. Réponse .

4 Modèle d'émission de polluants

4.1 Calcul des émissions au kilomètre

Il s'agit de déterminer les émissions de NO_x émise par les flux générés précédement. Pour simplifier, on considère que le parc automobile urbain est constitué de véhicules particuliers récents uniquement, essence et diesel. Parmi chacun de ces deux groupes on distingue, seulement, deux cylindrées (plus de deux litres et moins de deux litres). On note ces classes technologiques c par E+, E−, D+, D−. Le taux de présence d'une classe technologique dans le parc est noté p_c, donné dans le tableau 5.

Les émissions moyenne de NO_x, par véhicule et par kilomètre parcouru sont données par l'équation (3) où V est la vitesse du véhicule, a_c¹, a _c² et a _c³ sont des coefficients d'émission propre à chaque classe technologique c et résumés dans le tableau 6.

(3)

1. Programmer la fonction Em(V ), donnant les émissions moyennes par véhicule et kilomètre pour les vitesses V .
2. Tracer Em(V ) pour V de 0 km∕h à 130 km∕h. Réponse

4.2 Émissions sur chaque tronçon

La vitesse sur un tronçon est fonction du type de voie t (tableau 7), de sa capacité maximale c_t des flux f de circulation selon l'équation (4).

(4)

1. Calculer les vitesses sur les tronçons. Réponse .
2. Le tableau 4 donne les longueurs des tronçons. Calculer les émissions de chaque arc, pour les flux calculés précédemment et les visualiser sur le graphe. Réponse .
3. Modifier l'épaisseur des arcs proportionnellement aux émissions. Réponse .

5 Prolongements du TP

À partir des émissions de polluants calculés sur les tronçons, une modèle de dispersion des gaz, tenant compte du vent peut permettre de calculer les concentrations en polluant sur la ville. Cette étude a été ménée de manière plus poussée dans le cadre d'un stage scientifique au cereve. Le rapport de stage est téléchargeable au format pdf .