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1 L’optimisation dynamique sans contrainte

On veut résoudre ici un problème, appelé problème d’optimisation de Bolza, et qui se présente sous la forme suivante :

Soit T > 0 (éventuellement T = +), on minimise en x0,,xT n,
et en u0,,uT1 p, le critère

        J(x,u ) =   J1(x,u ) + J2(x, u) avec,                  (1)
                               T−1
                               ∑
le coˆut int´egral     J1(x,u ) =    l(xt,ut,t)                   (2)
                                0
   le couˆt final     J2(x,u ) = Φ(xT ,T) ,                      (3)
en tenant compte de la dynamique
xt+1 = F (xt,ut,t),   t ∈ {0,...,T − 1},
(4)


et éventuellement d’un domaine d’admissibilité

ut ∈ 𝒰 pour tout t ∈ {0,...,T − 1 }.
(5)


La variable u est la commande, c’est la variable sur laquelle on peut agir. La variable x est l’état : si l’on fixe l’état initial x0, et si l’on connaît la commande ut à chaque instant t, alors on peut retrouver l’état xt à tout instant via la dynamique F.

Question 1 Résoudre le problème suivant grâce à la fonction dynoptim.

On cherche

                            11
                          1∑    2
     min        J(u,x ) = 2    x ,
u0,...,u11 ∈ ℝ              t=0
x0,...,x12 ∈ ℝ

en tenant compte de la dynamique

xt = ut−1, x0 = 1.

2 Analyse économique de mesures de prévention du changement climatique

2.1 Coûts et contraintes

Une politique de réduction des émissions de co2 (gaz à effet de serre) doit arbitrer entre différents coûts et contraintes :

  • le coût des dommages futurs des changements climatiques, supposé être une fonction d(Mt,t) de la seule concentration Mt en co2 ;
  • le coût des mesures de réduction des émissions, supposé être une fonction C(at,t) du seul abattement at ;
  • d’éventuelles contraintes imposées à la concentration Mt, du type Mt M.

Cet arbitrage est réalisé sur un certain nombre T (également appelé horizon) de pas de temps (années ou dizaines d’années, qui va ici de 1990 à 2110).

On suppose que les émissions de référence Et, c’est à dire l’évolution des émissions si aucune mesure n’est prise, sont connues. On dispose de moyens pour réduire à l’instant t les émissions d’une fraction atEt : at est appelé abattement. On note Mt la concentration de gaz à effet de serre à l’instant t.

L’objectif consiste à minimiser la somme actualisée (à un taux ρ > 0) des coûts sur l’horizon T, qui forme un critère J, fonction de l’état Mt et de la commande at, qui s’écrit de la manière suivante :

           T∑− 1                       1
J (a,M ) =     (C (at,t) + d(Mt, t))-------t.
            t=0                    (1 + ρ)
(6)

2.2 Coûts d’abattement

Le coût d’abattement s’écrit

           ---
C (at,t) = αEtat νλ(t),
(7)

et il est composé de trois facteurs

  • un terme dépendant de at en αEtatν qui est le coût d’abattement ¡¡brut¿¿ ;
  • un terme de progrès technique λ(t), où λ est une fonction décroissante vérifiant λ(0) = 1 et lim t→∞λ(t) = λ (0 < λ < 1).

On prend ici

λ (t) = 0.25 + 0.75exp (− 0.01 × Δt × t).
(8)

Cette fonction simule les conséquences du progrès technique en faisant décroître le coût des mesures de réductions des émissions avec le temps : on considère que les méthodes utilisées s’améliorent avec le temps, d’où des baisses de coût.

2.3 Coûts des dommages

On définit la fonction dommage comme suit :

ξ (M  ) = 𝜃(M  − M0 ),
(9)

𝜃 est un réel fixé et M0 désigne la concentration en CO2 à l’instant initial.On prendra 𝜃 = 0.0 000 526 unité par ppm.

On rappelle que κ(t) désigne le pib du pays à l’instant t ; il est défini de la manière suivante :

κ (t) = 18 000 exp(0.02 × Δt ×  t).
(10)

Le terme correspondant au coût des dommages s’écrit comme le produit du pib κ(t) de référence et d’un indicateur de dommage ξ(M) variant entre 0 et 1, soit :

d(Mt, t) = κ(t)ξ(Mt).
(11)

2.4 Équation d’état

L’évolution de la concentration en co2 dans l’atmosphère au cours du temps est modélisée par la dynamique d’accumulation du CO2 suivante :

{
   Mt            =   M0
     |t=0                                          ---
   Mt+1 − M − ∞  =   (1 − σΔt )(Mt  − M − ∞) + Δt βEt(1 − at)
(12)

  • M−∞ est la concentration en co2 présent dans l’atmosphère avant l’ère industrielle ;
  • M0 est la concentration initiale en co2, supposée supérieure à la concentration pré-industrielle (M0 > M−∞) ;
  • β représente la fraction (0 < β < 1) du co2 stockée dans l’atmosphère ;
  • σ est une fraction (0 < σ < 1) du co2 réabsorbée par le sol et les océans ;
  • Et représente les émissions de référence, c’est-à-dire l’évolution des émissions si aucune mesure n’est prise, suposées connues (ce sont des données exogènes fournies par des scénarios) ;
  • Et(1 at) représente les émissions restantes après abattement.

2.5 Données

Les valeurs des paramètres utilisés par défaut sont résumées dans le tableau (2.5).





Et Gigatonnes par an 5.9623, 6.998, 8.4363, 9.9111,
11.018, 12.126, 13.233, 14.541,
15.848, 17.156, 18.463, 19.771



α dollars par tonne de carbone et par an 1 000



ν sans dimension 3



M 0 ppm 360



M −∞ ppm 274



ρ sans dimension 0.05



σ unité par an 0.01



Δt an 10



β ppm par gigatonne par an 0.38




Table 1: Unités et valeurs par défaut des paramètres

2.6 Un problème d’optimisation dynamique

On est donc amené à considèrer le problème suivant : minimiser le critère

           T∑−1                    ---1----
J(a,M  ) =    (C (at,t) + d(Mt, t))(1 + ρ )t
           t=0
(13)

avec

{
   Mt |t=0  =  M0
   M       =  M     + Δt (βE---(1 − a   ) − σ(M    −  M    )),
     t           t−1          t−1      t−1        t−1     −∞

Question 2 Mettre en forme le problème et le résoudre grâce à la fonction dynoptim.

3 L’optimisation dynamique avec contrainte de borne sur l’état

On veut résoudre ici un problème, semblable au problème étudié précèdemment, mais avec une contrainte de borne sur l’état :

Soit T > 0 ( éventuellement T = +), on minimise en x0,,xT n, et en u 0,,uT1 p, le critère

        J (x,u)  =   J1(x,u) + J2(x,u) avec,                   (14)
                               T∑− 1
le coˆut int´egral      J1(x,u) =     l(xt,ut,t),                  (15)
                                0
   le coˆut final      J (x,u) = Φ (x ,T ) ,                     (16)
                      2            T
en tenant compte de la dynamique
x(t + 1) = F(x ,u ,t),  t ∈ {0,...,T − 1},
              t  t
(17)


éventuellement d’un domaine d’admissibilité

ut ∈ 𝒰 pour tout t ∈ {0,...,T − 1},
(18)


et surtout de la contrainte de borne sur l’état

x ≤  x ≤ x.
--
(19)


La fonction dynoptimsc permet de traiter ce genre de problème.

Question 3 Reprendre le problème de politique environnementale en remplacant le coût des dommages D(Mt,t) par la contrainte explicite :

         ---
∀t Mt ≤  M .
(20)

On prendra M = 600 ppm.

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