On veut résoudre ici un problème, appelé problème d’optimisation de Bolza, et qui se présente sous
la forme suivante :
Soit T > 0(éventuellement T = +∞), on minimise en x0,…,xT∈ ℝn, et en u0,…,uT−1∈ ℝp, le critère
en tenant compte de la dynamique
(4)
et éventuellement d’un domaine d’admissibilité
(5)
La variable u est la commande, c’est la variable sur laquelle on peut agir. La variable x est
l’état : si l’on fixe l’état initial x0, et si l’on connaît la commande ut à chaque instant t, alors on
peut retrouver l’état xt à tout instant via la dynamique F.
Question 1Résoudre le problème suivant grâce à la fonction dynoptim.
On cherche
en tenant compte de la dynamique
2 Analyse économique de mesures de prévention du changement climatique
2.1 Coûts et contraintes
Une politique de réduction des émissions de co2 (gaz à effet de serre) doit arbitrer entre différents
coûts et contraintes :
le coût des dommages futurs des changements climatiques, supposé être une fonction
d(Mt,t) de la seule concentration Mt en co2 ;
le coût des mesures de réduction des émissions, supposé être une fonction C(at,t) du
seul abattement at ;
d’éventuelles contraintes imposées à la concentration Mt, du type Mt≤M.
Cet arbitrage est réalisé sur un certain nombre T (également appelé horizon) de pas de temps (années
ou dizaines d’années, qui va ici de 1990 à 2110).
On suppose que les émissions de référence Et, c’est à dire l’évolution des émissions si aucune
mesure n’est prise, sont connues. On dispose de moyens pour réduire à l’instant t les émissions
d’une fraction atEt : at est appelé abattement. On note Mt la concentration de gaz à effet de serre
à l’instant t.
L’objectif consiste à minimiser la somme actualisée (à un taux ρ > 0) des coûts sur l’horizon T,
qui forme un critère J, fonction de l’état Mt et de la commande at, qui s’écrit de la manière
suivante :
(6)
2.2 Coûts d’abattement
Le coût d’abattement s’écrit
(7)
et il est composé de trois facteurs
un terme dépendant de at en αEtatν qui est le coût d’abattement ¡¡brut¿¿ ;
un terme de progrès technique λ(t), où λ est une fonction décroissante vérifiant
λ(0) = 1 et lim t→∞λ(t) =λ(0 <λ< 1).
On prend ici
(8)
Cette fonction simule les conséquences du progrès technique en faisant décroître le coût des
mesures de réductions des émissions avec le temps : on considère que les méthodes utilisées
s’améliorent avec le temps, d’où des baisses de coût.
2.3 Coûts des dommages
On définit la fonction dommage comme suit :
(9)
où 𝜃 est un réel fixé et M0 désigne la concentration en CO2 à l’instant initial.On prendra
𝜃 = 0.0000526 unité par ppm.
On rappelle que κ(t) désigne le pibdu pays à l’instant t ; il est défini de la manière suivante
:
(10)
Le terme correspondant au coût des dommages s’écrit comme le produit du pibκ(t) de
référence et d’un indicateur de dommage ξ(M) variant entre 0 et 1, soit :
(11)
2.4 Équation d’état
L’évolution de la concentration en co2 dans l’atmosphère au cours du temps est modélisée par la
dynamique d’accumulation du CO2 suivante :
(12)
où
M−∞ est la concentration en co2 présent dans l’atmosphère avant l’ère industrielle ;
M0 est la concentration initiale en co2, supposée supérieure à la concentration
pré-industrielle (M0> M−∞) ;
β représente la fraction (0 < β < 1) du co2 stockée dans l’atmosphère ;
σ est une fraction (0 < σ < 1) du co2 réabsorbée par le sol et les océans ;
Et représente les émissions de référence, c’est-à-dire l’évolution des émissions si aucune
mesure n’est prise, suposées connues (ce sont des données exogènes fournies par des
scénarios) ;
Et(1 − at) représente les émissions restantes après abattement.
2.5 Données
Les valeurs des paramètres utilisés par défaut sont résumées dans le tableau (2.5).
Et
Gigatonnes par an
5.9623, 6.998, 8.4363, 9.9111,
11.018, 12.126, 13.233, 14.541,
15.848, 17.156, 18.463, 19.771
α
dollars par tonne de carbone et par an
1 000
ν
sans dimension
3
M0
ppm
360
M−∞
ppm
274
ρ
sans dimension
0.05
σ
unité par an
0.01
Δt
an
10
β
ppm par gigatonne par an
0.38
Table 1: Unités et valeurs par défaut des paramètres
2.6 Un problème d’optimisation dynamique
On est donc amené à considèrer le problème suivant : minimiser le critère
(13)
avec
Question 2Mettre en forme le problème et le résoudre grâce à la fonction dynoptim.
3 L’optimisation dynamique avec contrainte de borne sur l’état
On veut résoudre ici un problème, semblable au problème étudié précèdemment, mais avec une
contrainte de borne sur l’état :
Soit T > 0( éventuellement T = +∞), on minimise en x0,…,xT∈ ℝn, et en u0,…,uT−1∈ ℝp,
le critère
en tenant compte de la dynamique
(17)
éventuellement d’un domaine d’admissibilité
(18)
et surtout de la contrainte de borne sur l’état
(19)
La fonction dynoptimsc permet de traiter ce genre de problème.
Question 3Reprendre le problème de politique environnementale en remplacant le coût desdommages D(Mt,t) par la contrainte explicite :