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Préliminaires

  1. Ecrire une fonction Scilab qui calcule la moyenne empirique (moyenne, la variance empirique Variance empirique d’un tableau de nombre.

    Vérifiez qu’elles coïncident avec les fonctions prédéfinies de Scilab : mean, variance.

  2. Ecrire une fonction permettant de simuler un vecteur consituer de variables aléatoires gaussiennes centrées réduites indépendantes.

    Tracer l’histogramme du vecteur obtenu et verifier qu’il correspond bien à la loi gaussienne centrée réduite.

    Cette fonction existe dans Scilab (x=rand(1,n,’’gauss’’)).

  3. On cherche à calculer par simulation 𝔼(eβG) où G est une gaussienne centrée réduite. On rappelle que 𝔼(eβG) = exp(β22).

    Calculer par simulation 𝔼(eβG) pour β = 2, 4, 6, 8, 10. Précisez à chaque fois une intervalle de confiance. Pour quelles valeurs de β peut on utiliser une méthode de Monte-Carlo ?

Le modèle de Black et Scholes On considère le modèle de Black et Scholes :

           ( (     σ2)         )
St = S0exp     r − --- t + σWt   .
                   2

On supposera dans la suite que S0 = 100, σ = 0.3 (volatilité annuelle) et r = 0.05 (taux d’intérêt exponentiel annuel).

  1. Tracer l’histogramme de la loi de ST , pour T = 1, σ = 0.3 (volatilité annuelle) et r = 0.05 (taux d’intérêt exponentiel annuel).
  2. On cherche à calculer le prix d’un call de strike K = 100. Calculer ce prix par une méthode de Monte-Carlo avec un nombre de tirages égaux à N = 1000,1000,10000. On précisera l’intervalle de confiance.
  3. On va chercher à utiliser la variable aléatoire ST comme une variable de contrôle. Vérifiez que 𝔼(ST ) = ert (pourquoi ?).

    Ecrire un programme qui utilise ST comme variable de contrôle. Comparer la précision de cette méthode avec la précédente suivant les valeur relative de K et S0.

    Se convaincre que l’on a ainsi ramené le calcul du call à un calcul de put.

  4. On se place dans la cas d’un call de strike K grand devant S0. Montrer par simulation que la précision relative du calcul au fur et à mesure que K∕S0 décroit. On prendra S0 = 100 et K = 100, 150, 200, 250. Que se passe t’il pour K = 400 ?
  5. Montrer en utilisant le théorème de Girsanov que :
                   ( −λWT − λ2T           )
𝔼(f (WT )) = 𝔼  e       2 f (WT +  λT ) .

    On se place dans le cas du call avec S0 = 100 et K = 150. Proposer une valeur de λ permettant de réduire la variance de la simulation.

Partie 2 : Modèle de Panier On s’intéresse à un modèle de panier constitué à partir de d actifs. On suppose que chacun de ces d actifs de prix Sti suit un modèle de black et Scholes guidé par un mouvement Wti :

dSit              i  i
 Si  = rdt + σdW t,S 0 = xi.
  t

On prendra dans les applications numériques xi = 100 et d = 10.

Pour déterminer complètement le modèle on doit spécifier les corrélation entre les mouvements browniens. Pour cela on suppose que :

d < Wi, Wj >t=  ρdt,

ρ étant une constante donnée que l’on prendra égale à 0.5 dans les simulations.

  1. Calculer la matrice de corrélation du vecteur (WT 1,,W T d). Montrer (à l’aide de MatLab) qu’elle est définie positive.
  2. Proposer une méthode de simulation pour le vecteur (WT 1,,W T d) et (S T 1,,S T d).
  3. On s’intéresse maintenant au calcul du prix d’un call sur un indice de prix It donnée par
    It = a1S1t + ⋅⋅⋅ + adSdt.

    On prendra dans les applications numériques a1 = ⋅⋅⋅ = ad = 1∕d. Calculer par simulation la valeur du call de payoff à l’instant T

    (S  −  K ) ,
   T      +

    et estimer l’erreur commise dans le cas où K = I0.

  4. Montrer une relation d’arbitrage call-put et montrer que l’on peut l’utiliser pour mettre en oeuvre une technique de réduction de variance.
  5. En utilisant le théorème de Girsanov pour les d mouvement brownien proposer une technique de réduction de variance dans le cas où I0 est petit devant K.
  6. En supposant que r et σ tendent vers 0 monter que l’on peut approximer log(It∕I0) par :
        1     1   1             d     d   d
a1S 0 log(St∕S 0) + ⋅⋅⋅ + adS0 log (St∕S 0).

    En déduire une variable de contrôle pour le calcul du prix du call. Évaluer par simulation le gain de la méthode.

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