On cherche à calculer par simulation 𝔼(eβG) où G est une gaussienne centrée réduite. On
rappelle que 𝔼(eβG) = exp(β2∕2).
Calculer par simulation 𝔼(eβG) pour β = 2, 4, 6, 8, 10…. Précisez à chaque fois une intervalle
de confiance. Pour quelles valeurs de β peut on utiliser une méthode de Monte-Carlo
?
On cherche à calculer le prix d’un call de strike K = 100. Calculer ce prix par une méthode
de Monte-Carlo avec un nombre de tirages égaux à N = 1000,1000,10000. On précisera
l’intervalle de confiance.
On va chercher à utiliser la variable aléatoire ST comme une variable de contrôle. Vérifiez
que 𝔼(ST) = ert (pourquoi ?).
Ecrire un programme qui utilise ST comme variable de contrôle. Comparer la
précision de cette méthode avec la précédente suivant les valeur relative de K et
S0.
Se convaincre que l’on a ainsi ramené le calcul du call à un calcul de put.
On se place dans la cas d’un call de strike K grand devant S0. Montrer par simulation que la
précision relative du calcul au fur et à mesure que K∕S0 décroit. On prendra S0 = 100 et
K = 100, 150, 200, 250. Que se passe t’il pour K = 400 ?
Partie 2 : Modèle de Panier
On s’intéresse à un modèle de panier constitué à partir de d actifs. On suppose que chacun de
ces d actifs de prix Sti suit un modèle de black et Scholes guidé par un mouvement
Wti :
On prendra dans les applications numériques xi = 100 et d = 10.
Pour déterminer complètement le modèle on doit spécifier les corrélation entre les mouvements
browniens. Pour cela on suppose que :
ρ étant une constante donnée que l’on prendra égale à 0.5 dans les simulations.
Calculer la matrice de corrélation du vecteur (WT1,…,WTd). Montrer (à l’aide de
MatLab) qu’elle est définie positive.
Proposer une méthode de simulation pour le vecteur (WT1,…,WTd) et (ST1,…,STd).
On s’intéresse maintenant au calcul du prix d’un call sur un indice de prix It donnée
par
On prendra dans les applications numériques a1 = = ad = 1∕d. Calculer par
simulation la valeur du call de payoff à l’instant T
et estimer l’erreur commise dans le cas où K = I0.
Montrer une relation d’arbitrage call-put et montrer que l’on peut l’utiliser pour mettre
en oeuvre une technique de réduction de variance.
En utilisant le théorème de Girsanov pour les d mouvement brownien proposer une
technique de réduction de variance dans le cas où I0 est petit devant K.
En supposant que r et σ tendent vers 0 monter que l’on peut approximer log(It∕I0)
par :
En déduire une variable de contrôle pour le calcul du prix du call. Évaluer par
simulation le gain de la méthode.