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Calcul des probabilités
Expressions de lois de probabilité

Michel de Lara
(last modification date: October 10, 2017)
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1 Lois à densité
2 Lois discrètes

Contents

1 Lois à densité
 1.1 Loi normale
 1.2 Loi uniforme
 1.3 Loi exponentielle
 1.4 Loi de Weibull
 1.5 Loi de Cauchy
 1.6 Loi log-normale
 1.7 Loi beta
 1.8 Loi gamma
 1.9 Loi du chi-deux
 1.10 Loi de Student
 1.11 Loi de Fisher
2 Lois discrètes
 2.1 Loi binômiale
 2.2 Loi géométrique
 2.3 Loi hypergéométrique
 2.4 Loi binômiale négative
 2.5 Loi de Pascal
 2.6 Loi de Poisson
 2.7 Autres lois

Écrire la suite d’instructions suivante dans un fichier nom_du_fichier.sci, puis les exécuter avec la commande getf("nom_du_fichier.sci","c");

  function introduction()
    // à mettre dans un fichier nom_du_fichier.sci
    // et utiliser avec exec("nom_du_fichier.sci","c");
  endfunction
  
  function H=Heavyside(x)
    // Fonction de Heavyside
    H=max(sign(x),0);
  endfunction

1 Lois à densité

1.1 Loi normale

  function Ga=Gauss(x,mu,sigma)
    // loi de Gauss reelle
    // sigma est ici l'écart-type
    //--------------------
    pi=3.1415927;
    theta=(x-mu)/sigma;
    Ga=1/(sigma*sqrt(2*pi))*exp(-theta^2/2);
  endfunction
  
  function Ga=d_normal(x,mu,Sigma)
    // d_normal : loi de Gauss 
    // mu : vecteur colonne (n,1)
    // Sigma: la matrice de variance
    // x: matrice formee de m vecteurs colonnes (n,1);
    [m,n]=size(x);
    Ga=[];
    c=(1/(2*pi)^(m/2))*1/sqrt(det(Sigma));
    for j=1:n do
      Ga=[Ga,c*exp(-(x(:,j)-mu)'*inv(Sigma)*(x(:,j)-mu)/2)];
    end;
  endfunction

1.2 Loi uniforme

  function U=d_uniform(x,a,b)
    // d_uniform
    U=Heavyside(x-a) .*Heavyside(b-x) ./(b-a);
  endfunction

1.3 Loi exponentielle

  function E=d_exponential(x,lambda)
    // d_exponential
    E=Heavyside(x) .*lambda .*exp(-lambda .*x);
  endfunction

1.4 Loi de Weibull

  function W=d_weibull(x,a,alpha)
    // d_weibull
    // d'apr\`es /u/cergrene/0/jpc/Scilab/STIXBOX/
    if or(mtlb_any(a <= 0 | alpha <= 0)) then
      error('Parameter a or alpha is nonpositive');
    end
    I=mtlb_find(x <= 0);
    W=a .*x .^(alpha-1) .*exp(-a .*x .^(alpha) ./alpha);
    W(I)=0*I;
  endfunction

1.5 Loi de Cauchy

  function C=d_cauchy(x,a)
    //d_cauchy
    pi=3.1415927;
    C=1/pi .*a ./(a^2+x^2);
  endfunction

1.6 Loi log-normale

  function LN=d_lognormal(x,mu,sigma)
    // d_lognormal
    pi=3.1415927;
    //    y=max(x,0.00000001);
    theta=(log(x)-mu) ./sigma;
    LN=1 ./(x .*sigma .*sqrt(2*pi)) .*exp(-theta .^2 ./2);
    I=mtlb_find(x <= 0);
    LN(I)=0*I;
  endfunction

1.7 Loi beta

  function d=d_beta(x,a,b)
    // d_beta
    //d=[];
    if or(mtlb_any(a <= 0 | b <= 0)) then
      error('Parameter a or b is nonpositive');
    end
    I=mtlb_find(x <= 0 | x >= 1);
    d=real(x .^(a-1) .*(1-x) .^(b-1) ./beta(a,b));
    d(I)=0*I;
  endfunction

1.8 Loi gamma

  function f=d_gamma(x,a,b)
    // d_gamma
    f=[];
    if or(mtlb_any(a <= 0 | b <= 0)) then
      error('Parameter a or b is nonpositive');
    end
    f=real(x .^(a-1) .*exp(-x ./b) ./(gamma(a) .*b .^a));
    I0=mtlb_find(x <= 0);
    %v=size(I0)
    f(I0)=real(zeros(%v(1),%v(2)));
  endfunction

1.9 Loi du chi-deux

  function X=d_chisquare(x,n)
    // d_chisquare
    X=d_gamma(x/2,n*0.5,1)/2;
  endfunction

1.10 Loi de Student

  function S=d_student(x,n)
    // d_student
    pi=3.1415927;
    S=gamma((n+1)/2)/(gamma(n/2)*sqrt(n*pi)) .*((1+x .^2) ./n) .^(-(n+1) ./2);
  endfunction

1.11 Loi de Fisher

  function F=d_fisher(x,n,m)
    // d_fisher
    y=[0*x(x <= 0),x(x > 0)];
    F=Heavyside(x) .*gamma((n+m)/2) .*n^(n/2) .*m^(m/2) ./(gamma(n/2) .*gamma(m/2)) .* ...
      (y .^(n/2-1)) ./((m+n .*y) .^((n+m)/2));
    //    F=real(F);
    //    c = m ./ n; xx = x ./ (x+c);
    //    f = d_beta(xx,n/2,m/2);     F = f ./ ((x+c).^2)*c;
  endfunction

2 Lois discrètes

2.1 Loi binômiale

  function zt=d_binomial(i,N,p)
    // d_binomial
    //------------------------------- 
    function y=fact(n) y=prod(1:n);endfunction
    function z=C(N,n) z=fact(N)/(fact(n)*fact(N-n));endfunction
    zt=[];
    for j=i do zt=[zt,C(N,j)*p^j*(1-p)^(N-j)];end
    I=mtlb_find(i < 0 | i > N);
    zt(I)=0*I;
  endfunction

2.2 Loi géométrique

  function zt=d_geometric(i,p)
    // d_geometric
    //------------------------------- 
    zt=[];
    for j=i do zt=[zt,p*(1-p)^(j-1)];end
    I=mtlb_find(i <= 0);
    zt(I)=0*I;
  endfunction

2.3 Loi hypergéométrique

  function zt=d_hypergeometric(i,n,N1,N2)
    // d_hypergeometric
    //------------------------------- 
    function y=fact(n) y=prod(1:n);endfunction
    function z=C(N,n) z=fact(N)/(fact(n)*fact(N-n));endfunction
    zt=[];
    for j=i do zt=[zt,C(N1,j)*C(N2,n-j)/C(N1+N2,n)];end
    I=mtlb_find(i < max(n-N2,0) | i > min(N1,n));
    zt(I)=0*I;
  endfunction

2.4 Loi binômiale négative

  function zt=d_negativebinomial(i,r,p)
    // d_negativebinomial
    //------------------------------- 
    function y=fact(n) y=prod(1:n);endfunction
    function z=C(N,n) z=fact(N)/(fact(n)*fact(N-n));endfunction
    zt=[];
    for j=i do zt=[zt,C(j+r-1,r-1)*p^r*(1-p)^j];end
    I=mtlb_find(i < 0);
    zt(I)=0*I;
  endfunction

2.5 Loi de Pascal

  function zt=Pascal(i,p,r)
    //------------------------------- 
    function y=fact(n) y=prod(1:n);endfunction
    function z=C(N,n) z=fact(N)/(fact(n)*fact(N-n));endfunction
    zt=[];
    for j=i do zt=[zt,C(j-1,r-1)*p^r*(1-p)^(j-r)];end
    I=mtlb_find(i < r);
    zt(I)=0*I;
  endfunction

2.6 Loi de Poisson

  function zt=d_poisson(i,lambda)
    // d_poisson
    //-------------------------------
    function y=fact(n) y=prod(1:n);endfunction
    zt=[];
    for j=i do zt=[zt,exp(-lambda)*lambda^j/fact(j)];end
    I=mtlb_find(i < 0);
    zt(I)=0*I;
  endfunction

2.7 Autres lois

  function zt=Malchance(i)
    // loi de persistance de malchance
    //I = mtlb_find(i>=2);
    zt=[];
    for j=i do zt=[zt,1/(j-1)-(1/j)];end
  endfunction

  function zt=Renversement(i)
    // loi du temps de premier renversement
    //I = mtlb_find(i>=2);
    function y=fact(n) y=prod(1:n);endfunction
    zt=[];
    for j=i do zt=[zt,1/fact(j-1)-1/fact(j)];end
  endfunction
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