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Calcul des probabilités
Théorèmes limites

Jean-Baptiste Henniart
(last modification date: October 10, 2017)
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1 Loi forte des grands nombres
2 Théorème de la limite centrale

Contents

1 Loi forte des grands nombres
2 Théorème de la limite centrale

1 Loi forte des grands nombres

Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires identiquement distribuées, indépendantes et intégrables. Alors les moyennes partielles convergent presque sûrement et en moyenne (dans L1) vers la constante m = 𝔼(X1), soit

X1-+--...+-Xn-- p.s. n → n→ ∞ m

Question 1

  • Tirer N réalisations indépendantes X1,...,XN d’une loi exponentielle.
  • Tracer le graphique donnant n↦→X1+...+Xn-- n pour n ∈ [1,N].
  • Qu’observe-t-on ? Est-ce cohérent avec la loi forte des grands nombres ?

Question 2 Reprendre les questions précédentes avec une loi uniforme puis une loi normale à la place d’une loi exponentielle.

Question 3 Reprendre les questions précédentes avec une loi de Cauchy de paramètre a = 1.

Qu’observe-t-on ?

2 Théorème de la limite centrale

Soit (Xn)n > 1 une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de carré intégrable. Si m = 𝔼(X1) désigne la moyenne commune des Xn et Sn = ∑ k=1nX k, alors

Sn − nm ℒ --√------→ n→∞ N (0, 1) nσ

Question 4 Vérifier le théorème de la limite centrale à l’aide d’une procédure Scilab que vous écrirez, et ce pour plusieurs des lois que vues auparavant: loi uniforme, exponentielle...

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