Considérons un nuage ν de n points dans un espace E de dimension p. Lorsque E est de dimension
élevée, on ne peut pas visualiser l’espace de points. Un des buts de l’analyse en composantes
principales est alors de trouver le meilleur sous-espace H de E, de dimension h égale à 2 ou 3 par
exemple, dans lequel on aura la meilleure représentation du nuage. En fait, on va chercher à
trouver le sous-espace H de dimension h sur lequel le nuage projeté du nuage ν aura la plus grande
”dispersion”. On cherchera donc à maximiser la somme des carrés des distances entre tous les
couples de points projetés.
où G est le barycentre des points Pi.
On voit donc que maximiser la somme des carrés des distances entre tous les couples de projetés
des points équivaut à maximiser la somme des carrés des distances entre les projetés des points et
leur centre de gravité.
Notons (,…,) une base orthonormée de H.
La matrice Xt⋅X est symétrique réelle. C’est donc la matrice d’une forme quadratique Q dans une
base (ξ) de E et ainsi est diagonalisable dans une base orthonormée. De plus, si on note
(λ1≥…≥ λp) le spectre de Xt⋅ X et (,…,) la base orthonormée de vecteurs propres associée,
alors λk = max ∥x∥=1,x∈V ect(,…,)Q(x). Alors, afin de maximiser l’expression précédente il faut
choisir = ,…, = .
Dans ce cas, ∑j=1ndH2(Pj,G) = ∑j=1hλj est l’inertie du nuage de points ν par rapport au
sous-espace H, et est le pourcentage d’inertie expliqué par le sous-espace H. Ce pourcentage
d’inertie rend compte de la part de dispersion du nuage ν contenue dans le nuage projeté de ν sur
H.
2 Présentation des données
Nous allons étudier dans cette partie la distribution des mesures de poids de différentes parties d’un groupe
de 23 bovins1
(cf la table ci-dessous).
Les variables représentent:
poids vif.
poids de la carcasse.
poids de la viande de première qualité.
poids de la viande totale.
poids du gras.
poids des os.
Bovin
X1
X2
X3
X4
X5
X6
1
395
224
35.1
79.1
6.0
14.9
2
410
232
31.9
73.4
8.7
16.4
3
405
233
30.7
76.5
7.0
16.5
4
405
240
30.4
75.3
8.7
16.0
5
390
217
31.9
76.5
7.8
15.7
6
415
243
32.1
77.4
7.1
18.5
7
390
229
32.1
78.4
4.6
17.0
8
405
240
31.1
76.5
8.2
15.3
9
420
234
32.4
76.0
7.2
16.8
10
390
223
33.8
77.0
6.2
16.8
11
415
247
30.7
75.5
8.4
16.1
12
400
234
31.7
77.6
5.7
18.7
13
400
224
28.2
73.5
11.0
15.5
14
395
229
29.4
74.5
9.3
16.1
15
395
219
29.7
72.8
8.7
18.5
16
395
224
28.5
73.7
8.7
17.3
17
400
223
28.5
73.1
9.1
17.7
18
400
224
27.8
73.2
12.2
14.6
19
400
221
26.5
72.3
13.2
14.5
20
410
233
25.9
72.3
11.1
16.6
21
402
234
27.1
72.1
10.4
17.5
22
400
223
26.8
70.3
13.5
16.2
23
400
213
25.8
70.4
12.1
17.5
On dipose d’une matrice poids de taille (23, 6) correspondant aux poids des 23 bovins
selon les 6 critères. (fichier poids.txt). On charge les données dans Scilab, après avoir
sauvegardé localement le fichier par exemple sous le nom poids.txt, à l’aide de la
commande
poids=fscanfMat("poids.txt")
L’analyse des données nous conduit tout d’abord à calculer les paramètres descriptifs
élémentaires presentés dans le tableau ci dessous.
Moyenne
Écart-type
Min
Max
X1
401.6
8.2
390.0
420.0
X2
228.8
8.7
213.0
247.0
X3
29.9
2.6
25.8
35.1
X4
74.7
2.5
70.3
79.1
X5
8.9
2.4
4.6
13.5
X6
16.6
1.2
14.5
18.7
L’écart-type d’une suite de poids P1,…,Pn est estimé par: , où
P = ∑i=1nPi.
3 Valeurs propres de la matrice des corrélations
La matrice des corrélations nous donne une première idée des associations existant entre les
différentes variables.
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X1
1.0000
0.6914
-0.0329
-0.0585
0.0820
0.0820
X2
0.6914
1.0000
0.2837
0.3903
-0.3363
0.0917
X3
-0.0329
0.2837
1.0000
0.8948
-0.8773
0.0348
X4
-0.0585
0.3903
0.8948
1.0000
-0.9016
0.0032
X5
0.0820
-0.3363
-0.8773
-0.9016
1.0000
-0.3368
X6
0.0820
0.0917
0.0348
0.0032
-0.3368
1.0000
La matrice de corrélations est obtenue en exécutant la fonction correlation.
MatCor=correlation(poids).
Cette fonction fait appel à la fonction covariance.
Calculons les valeurs propres de la matrice des corrélations et intéressons nous aux
pourcentages d’inertie.
Axe
Valeur propre
Inertie
Inertie cumulée
1
2.9914
49.90%
49.90%
2
1.6125
26.90%
76.80%
3
1.0387
17.30%
94.10%
4
0.2487
4.10%
98.20%
5
0.0758
1.30%
99.50%
6
0.0329
0.50%
100.00%
Figure 1: Éboulis des valeurs propres
Les valeurs propres sont calculées sur la matrice de corrélation avec la fonction
valprop.
L’inertie expliquée par la i-ème composante principale, qui est associée à la i-ème plus grande
valeur propre, est calculée avec la formule: .
Question 1Analyser le résultat obtenu.
4 Vecteurs propres de la matrice des corrélations
Les vecteurs propres sont calculés sur la matrice de corrélation avec la fonction vectprop
qui renvoie les vecteurs propres rangés dans l’ordre décroissant des valeurs propres
associées.
X1
0.063
0.743
0.060
0.597
0.283
-0.063
X2
0.304
0.609
0.117
-0.643
-0.331
0.019
X3
0.534
-0.164
0.137
0.461
-0.646
0.200
X4
0.548
-0.138
0.176
-0.130
0.595
0.528
X5
-0.552
0.147
0.172
0.032
-0.193
0.778
X6
0.120
0.100
-0.950
0.007
-0.040
0.266
5 ACP
Nous obtenons, à partir de la matrice des données, les coordonnées des projetés des individus dans
la base orthonormée des vecteurs propres de la matrice des corrélations avec la fonction
acpindiv.
Cette fonction fait appel à la fonction reduire qui permet de centrer et de normer une matrice
de données de telle sorte que la moyenne de chaque variable soit nulle et que son écart-type soit
égal à 1.
Les coordonnées, calculées à partir de la matrice des données, des variables dans la base
orthonormée des vecteurs propres sont obtenues avec la fonction acpvar.
Cela nous permet de représenter le nuage projeté du nuage initial de poids et le cercle des
corrélations dans le plan formé par deux composantes principales quelconques.
Figure 2: Projection des individus sur les axes principaux 1 et 2
Figure 3: Cercle des corrélations pour les axes 1 et 2
Question 2Que pouvez-vous dire sur le cercle des corrélations du plan factoriel 1-2?
Pour représenter les coordonnées de m points de ℝp sur les axes i-j, on utilise
la fonction nuage, où les lignes de la matrice A sont les coordonnées des m points de
ℝp.
Pour représenter le cercle des corrélations sur les axes i-j, on utilise la fonction
cercle(A,i,j) ( cercle), où A est la matrice des coordonnées des variables dans la base
orthonormée des vecteurs propres.
Question 3Que pouvez-vous dire sur le cercle des corrélations du plan factoriel 2-3?
6 Qualité de la représentation des individus
La qualité est représentée par le cosinus de l’angle entre le vecteur et son projeté sur le plan
factoriel considéré.
On utilise la fonction qualiteindiv(poids,i,j) (qualiteindiv.sce) pour représenter la qualité
des individus sur les plans factoriels i-j.
Figure 4: Qualité de la représentation des individus dans le plan factoriel 1-2
Question 4Quelle est votre analyse pour la qualité de la représentation sur les plans 1-2et 2-3?
7 Étude d’une variable nominale supplémentaire
Les données proviennent de deux races Charolais ou Zébu.
Le programme barycentres(acpindiv(poids),race,i,j) ( barycentres ) permet de visualiser
la variable nominale supplémentaire race dans le plan factoriel i-j.
Question 5Analyser le rôle de la variable nominale.
Figure 5: Variable supplémentaire dans le plan factoriel 1-2
) une base orthonormée de H.
) la base orthonormée de vecteurs propres associée,
alors 
= 
= 
.
est le pourcentage d’inertie expliqué par le sous-espace H. Ce pourcentage
d’inertie rend compte de la part de dispersion du nuage 
, où
.
