Avec les indication du TP quand à l’écriture des fonctions Ghil_1 et Ghil_2 et à l’usage de
fcontour2d pour le tracé des isoclines, on obtient, pour μ = 1.8 le graphe suivant :
Figure 1: Isoclines (μ = 1.8)
On observe clairement trois points d’équilibre.
1.2 Visualisation du champ de vecteurs
Figure 2: Champ de vecteurs (μ = 1.8)
On retrouve les trois points d’équilibre : le champ de vecteurs tourne autour, ou s’en écarte.
On peut déjà remarquer la nature de ces points : le point central a plutôt l’air d’être un
attracteur, tandis que les deux autres ressemblent à des points selles. Cette impression pourra être
confirmée par l’examen de quelques trajectoires.
1.3 Examen de trajectoires
Figure 3: Champ de vecteurs et quelques trajectoires (μ = 1.8)
Lorsque l’on choisit une condition initiale en bas au milieu du portrait, la trajectoire
solution est attirée en spirale vers le point d’équilibre central, ce qui confirme sa nature
attractrice.
Les deux autres points d’équilibre semblent attirer les trajectoires venant d’une direction et
repousser celles venant de la direction perpendiculaire. Il semble donc bien qu’il s’agisse de
points-selle.
2 Sensibilité du système à un paramètre
En faisant varier le paramètre de bifurcation μ, on observe une différence de comportement dans
les portraits de phase, confirmée par l’étude des variations de température correspondantes.
Dans les pages suivantes, nous avons retracé les portraits de phase et les variations de
température dans chaque cas.
2.1 μ < 1.6
2.1.1 Portrait de phase
Figure 4: Portrait de phase (μ = 1.5)
Sur la figure 5, les trajectoires partant du bas du portrait contournent le point central et
partent vers la gauche du portrait, tandis que celles partant d’une condition initiale proche du
point central s’en éloignent.
Le point d’équilibre central est clairement répulsif.
2.1.2 Courbe de température
Nous avons tracé les courbes de température grâce aux fonctions ode et plot. Afin de toujours
tracer des vecteurs de même taille, même en cas de divergence, nous avons entré les lignes
suivantes :
t=0:0.1:100; y=ode([278,9E5]',0,t,Ghil); //pour ne prendre que les valeurs de t pour lesquelles la température a //effectivementété calculée~: xbasc() s=size(y) plot(t(1):0.1:t(s(2)),y(1,:)) //attention: le pas de temps dans plot doitêtre le même que dans t
Si on choisit μ = 1.5, et T = 280K, L = 8.105m comme conditions initiales, on obtient le
graphe 5.
Figure 5: Variation de la température (μ = 1.5)
L’amplitude des oscillations augmente clairement avec le temps jusqu’à diverger. On retrouve
ce que l’on pouvait voir sur le portrait de phase précédent : le point est répulsif, la trajectoire s’en
éloignent en tourant autour pour finalement “sortir” du portrait vers la gauche, soit vers les
températures plus basses.
2.2 1.6 ≤ μ < 1.7
2.2.1 Portrait de phase
Figure 6: Portrait de phase (μ = 1.6)
Cette fois-ci, sur la figure 6, les trajectoires ne se comportent pas tout à fait de la même
façon.
En effet, les trajectoires partant du bas du portrait de phase sont toujours attirées vers le point
d’équilibre, mais elles l’entourent sans plus l’approcher à partir d’un moment. Au contraire, les
trajectoires partant de la zone proche du point d’équilibre s’en écartent pour rejoindre les
trajectoires précédentes.
Nous constatons ici l’apparition d’un attracteur d’un autre type : il s’agit d’un cycle
limite.
2.2.2 Courbe de température
Figure 7: Variation de la température (μ = 1.6)
Sur la figure 7, la température se retrouve rapidement en régime oscillatoire d’amplitude
constante égale à 14 K environ. Cela confirme l’existence d’un cycle limite. La période des
oscillations est de 8 unités de temps environ.
2.3 μ ≥ 1.7
2.3.1 μ = 1.7
Portrait de phase
Figure 8: Portrait de phase (μ = 1.7)
Le portrait de phase8 obtenu avec cette valeur de μ n’est pas aisé à qualifier : il semble qu’il y
ait plusieurs cycles limites ; on ne peut trancher véritablement quant à la nature des attracteurs
(soit un point, soit un cycle limite). La convergence vers l’attracteur est en tout cas très
lente.
Une courbe de la température sur une grande échelle de temps pourrait aider à déterminer la
nature de l’attracteur.
Courbe de température
Figure 9: Variation de la température (μ = 1.7)
D’après la courbe 9, la nature de l’attracteur est explicite : nous sommes en présence d’un
point attracteur. Il n’y a plus de cycle limite.
2.3.2 μ = 1.76
Portrait de phase
Figure 10: Portrait de phase (μ = 1.76)
Sur la figure 10, la nature de l’attracteur est ici bien plus facilement dicernable : il s’agit d’un
point. On peut remarquer que, lorsque μ augmente, la convergence des trajectoires vers l’attracteur
est plus rapide.
Courbe de température
Figure 11: Variation de la température (μ = 1.76)
La convergence vers le point attracteur est nette sur la courbe 11 : la température se stabilise
vers 277 K (soit une différence de 4 K avec la condition initiale).
Afin d’estimer la période des oscillations, nous allons “zoomer” sur le début du
graphe.
Figure 12: Premières variations de T (μ = 1.76)
On observe une période des oscillations d’environ 5 unités de temps.
