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1 Modèle de bioréacteur

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Un bioréacteur est constitué d’une cuve où interagissent de la biomasse (cellules vivantes) et du nutriment (sucre). Un flux de débit D l’alimente en nutriment et en retire les produits.

Pour écrire les équations de bilan de masse, on suppose les concentrations uniformes à l’intérieur du bioréacteur et on introduit les variables suivantes :

• x₁ : concentration de biomasse dans le bioréacteur (en gl⁻¹) ;
• x₂ : concentration en sucre à l’intérieur de la cuve (en gl⁻¹) ;
• D : débit d’alimentation en eau sucrée (en ls⁻¹) ;
• x_2in : concentration en sucre avant dilution dans la cuve (en gl⁻¹).

Les équations du bilan de masse s’écrivent alors

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Pour les compléter, nous introduisons les lois de conversion entre biomasse et nutriments. Croissance et consommation sont proportionnelles à la biomasse, le coefficient dépendant uniquement de la concentration en sucre (et pas du temps). On introduit le taux spécifique de croissance

On obtient finalement le modèle d’état

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Nous allons pouvoir agir sur le débit, le coefficient k ainsi que sur la concentration en sucre en entrée x_2in.

Notons que ce modèle pourrait être appliqué, en augmentant le nombre de variables de biomasse, à la modélisation de la digestion des boues dans les bassins de décantation.

Ce modèle est l’objet de la macro bioreact. Elle est chargée en mémoire en lançant biosystems() et ses paramètres peuvent être choisis grâce à la fonction bio_init().

A l’aide de la commmande portrait(bioreact), visualiser le champ de vecteurs et quelques trajectoires (domaine [0,0,5,5], 100 points, pas de 0.1 et 10x10 points pour le champ de vecteurs).

N.B. : Les coordonnées peuvent être obtenues, soit en tapant xclick() dans la ligne de commande et en cliquant sur le point que l’on pense être point d’équilibre, soit en utilisant la fonction fsolve qui cherche le zéro du champ :
deff(’[y]=fsol(x)’,’y=bioreact(t,x)’);
t=0;
fsolve([0;1],fsol)

2 Un modèle proie-prédateur

2.1 Équations du modèle

Nous considérons dans cette partie une dynamique proie-prédateur d’équations

(3)

x₁ modélise la proie et x₂ le prédateur. La commande u = (u₁,u₂) correspond à l’effet de l’homme sur la dynamique de chacune des deux espèces (chasse, insecticide...). Il est bien évidemment possible de changer la valeur de chacun des paramètres de ces équations.

2.2 Étude du modèle proie-prédateur avec Scilab

Nous allons utiliser la macro p_p (qui est l’implémentaion du système dynamique décrit ci-dessus), ainsi qu’equilpp, macro qui calcule le point d’équilibre du système dans le quadrant positif ou nul. Ces macros sont chargées en mémoire par l’appel de la macro biosystems(), et les paramètres du système sont initialisés par la macro bio_init().

2.2.1 k infini

Nous nous plaçons dans un premier temps dans le cas k infini (sous Scilab, donner la valeur %inf au paramètre k_pp) et u identiquement nul.

Prenons à présent u strictement positif et tel que u1 = u2.

N.B. : Attention, u étant un des arguments de la macro p_p, le portrait de phase s’obtient par la commande portrait(list(p_p,u)) où u a la valeur numérique souhaitée.

Pour certaines valeurs de u, le point d’équilibre est à composante négative. Pour obtenir des points d’equilibre à composante négative, il faut appeler equilpp avec 2 arguments, le premier étant la commande ue, le deuxième pouvant avoir n’importe quelle valeur (la seule présence d’un second argument autorise les points d’équilibre à composante négative).

2.2.2 k fini

Reprenons l’étude avec k fini.

On considère un cas où le point d’équilibre est positif. Utilisons la macro tangent pour définir un champ de vecteurs linéaire pplin qui représente la dynamique linéarisée autour du point d’équilibre fixé. La syntaxe est [f,g,pplin]=tangent(’p_p’,equilpp(ue),ue). On pourra faire cette question à la main pour plus de précision sur les valeurs propres.

2.2.3 Retour à k infini

Soit xe le point d’équilibre précédent. On pose :

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Superposons les champs p_p et pplin autour du point d’équilibre retenu. On fera attention au moment de l’appel de portrait à utiliser list(pplin,ue).

3 Un modèle de compétition

3.1 Qu’est-ce qu’un modèle de compétition ?

Un tel système modélise la dynamique de deux populations vivant sur une même ressource. Ce peut être le cas par exemple de deux souches de levure, ou encore de crustacés sur une algue. Ce système a pour équations

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où 1/u est le niveau de ressources et r,s,k,l,a,b des paramètres que l’on peut faire varier (attention : ces paramètres sont notés r_compet, s_compet, etc... sous Scilab. Seule u possède le même nom u).

Nous allons utiliser ce modèle pour appliquer les concepts de commande et d’observateur.

3.2 Simulation du modèle de compétition

On utilise ici la macro compet, qui est l’implémentation du modèle de compétition, ainsi que equilcom, qui calcule les coordonnées du point d’équilibre en fonction de la commande u (inverse du niveau de ressource). Toutes deux sont chargées grâce à biosystems(), et compet est initialisée à l’aide de bio_init().

On pourra se reporter à la partie “Automatique” pour simuler le bouclage de ce système.

4 Réactions en chaîne

4.1 Équations de cinétique chimique

L’objectif de ce TP est d’observer l’évolution des concentrations des réactifs et des produits d’une réaction en chaîne.

Nous considérons donc les réactions (d’ordre 1) A → B → C de constantes k₁ et k₂.

On peut alors écrire les différentes équations cinétiques :

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ce qui peut se résoudre analytiquement. On obtient ainsi les formules suivantes :

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4.2 Simulation de la réaction sous Scilab