Un système dynamique linéaire plan est de la forme
(1)
où A est une matrice 2 × 2 non nulle à coefficients réels. On notera λ1 et λ2 ses valeurs propres
(éventuellement complexes conjuguées). Plusieurs cas sont à considérer.
Question 1Charger la fonction syslin suivante sous Scilab. Interpréter ce que calculecette fonction.
functionsyslin(A) // Donne le spectre de A et // trace champ de vecteurs et portrait de phase // du système linéaire associé function xdot=linear(t,x) //attention ! onécrit linear(t,x) même si linear ne dépend pas de t xdot=A*x endfunction abcisse=-10:2:10; ordonnee=abcisse; time=0:0.1:100; xset("window",1);xbasc(); fchamp(linear,0,abcisse,ordonnee) xtitle("champ de vecteurs et portrait de phase") x0=20*(rand(2,1)-0.5); res=ode(x0,0,time,linear); plot2d(res(1,:),res(2,:),strf ="000") x0=20*(rand(2,1)-0.5); res=ode(x0,0,time,linear); plot2d(res(1,:),res(2,:),strf ="000") // Affichage printf("\n");printf("LE SPECTRE DE LA MATRICE EST\n\n"); printf("%f\n",spec(A)) // spectre de la matrice A printf("\n");printf("LE PORTRAIT DE PHASE EST EN FENETRE 1\n\n"); endfunction
2 Les valeurs propres sont réelles, distinctes et de même signe
D’un point de vue algébrique, la matrice A admet deux vecteurs propres réels distincts v1 et v2. Si
P = est la matrice réelle de changement de base, on a A = PDiag(λ1,λ2)P−1. Si on
effectue alors le changement de coordonnées z = P−1x, le système (1) devient ż = Diag(λ1,λ2)z et
les solutions s’écrivent :
(2)
On dit que l’origine est un nœud stable ou instable suivant que λ1 et λ2 sont négatives ou positives.
La figure 1 représente un nœud stable. Pour avoir un nœud instable il suffit de changer le sens des
flèches.
Figure 1: Nœud stable
Question 2Exécuter syslin(A) sous Scilab. Commenter.
A=[-1,2;0,-2] syslin(A)
3 Les valeurs propres sont réelles, distinctes et de signe opposé
Les solutions sont toujours de la forme (2) mais comme les valeurs propres sont de signe opposé,
les trajectoires sont rentrantes dans une direction et sortantes dans l’autre. On dit que l’origine est
un point-selle ou encore point-col. La figure 2 représente un point-selle pour lequel λ1 est négative
et λ2 positive.
Figure 2: Point-selle
Question 3Exécuter syslin(A) sous Scilab. Commenter.
A=[-1,2;0,1] syslin(A)
4 Les valeurs propres sont complexes conjuguées, distinctes
Notons les valeurs propres
D’un point de vue algébrique, la matrice A admet deux vecteurs propres complexes conjugués
distincts v1 et v2. Si P = est la matrice complexe de changement de base, on a
A = PDiag(λ1,λ2)P−1. Si on effectue alors le changement de coordonnées complexes
z = P−1x, le système (1) devient ż = Diag(λ1,λ2)z. Le point complexe z1(t) décrit la
courbe
(3)
qui est une spirale autour de l’origine. Celle ci est dite spirale instable, centre ou spirale stable
suivant que μ est positif, nul ou négatif comme l’indique la figure 3.
Figure 3: Point spirale stable
Question 4Exécuter syslin(A) sous Scilab. Commenter.
A=[-1,1;-1,-1] syslin(A)
Question 5Même question avec la matrice de rotation suivante.
A=[0,1;-1,0] syslin(A)
5 Les valeurs propres sont égales et A est diagonalisable
Les solutions sont de la même forme que (2) mais comme λ1 et λ2 sont égales, le rapport
z1(t)∕z2(t) reste constant égal à z1(0)∕z2(0) et les trajectoires sont des droites. On dit que l’origine
est un foyer stable ou instable suivant que λ1 est négative ou positive. La figure 4 représente un
foyer instable.
Figure 4: Foyer instable
Question 6Exécuter syslin(A) sous Scilab. Commenter.
A=[1,0;0,1] syslin(A)
6 Les valeurs propres sont égales et A n’est pas diagonalisable
Il existe une matrice réelle de changement de base P telle que, d’après la réduction de
Jordan,
(4)
Si on effectue le changement de coordonnées z = P−1x, le système (1) devient ż = z
et les solutions s’écrivent :
(5)
On dit que l’origine est un nœud dégénéré stable ou instable suivant que λ1 est négative ou
positive. La figure 5 représente un nœud dégénéré stable.
Figure 5: Nœud dégénéré stable
Question 7Exécuter syslin(A) sous Scilab. Commenter.
A=[-1,2;0,-1] syslin(A)
7 L’une des valeurs propres est nulle
La matrice A étant supposée non nulle, on étudie le cas où λ1 = 0 et λ2 = λ≠0.
D’un point de vue algébrique, la matrice A admet deux vecteurs propres réels distincts v1 et v2.
Si P = est la matrice réelle de changement de base, on a A = PDiag(0,λ)P−1. Si on
effectue alors le changement de coordonnées z = P−1x, le système (1) devient ż = Diag(0,λ)z et
les solutions s’écrivent :
(6)
Ainsi, non seulement l’origine, mais aussi tous les points de la droite d’équation z2 = 0 sont
points d’équilibre (cas dégénéré).
Figure 6: Droite de points d’équilibre
Question 8Exécuter syslin(A) sous Scilab. Commenter.
A=[-2,4;1,-2] syslin(A)
8 Perturbations quadratiques
Partant du système linéaire précédent, on ajoute une perturbation quadratique
(7)
où 𝜀 est un réel, Q1, Q2 des matrices carrées symétriques et R est un vecteur de même dimension
que x.
Question 9Reprendre le code syslin pour en faire un code syslinpert.
est la matrice réelle de changement de base, on a 
est la matrice complexe de changement de base, on a
est la matrice réelle de changement de base, on a 
