Dans une première partie, nous étudions des schémas
numériques utilisant la méthode des éléments finis pour discrétiser le
modèle Oldroyd-B d'un fluide viscolélastique. Le but est d'obtenir des
schémas stables au sens où ils dissipent une énergie libre, imitant
ainsi des propriétés thermodynamiques de dissipation similaires à celles
identifiées pour des solutions continues régulières du modèle. Cette
étude s'ajoute à de nombreux travaux antérieurs sur les instabilités
obervées dans les simulations numériques d'équations viscoélastiques (en
particulier les problèmes à grand nombre de Weissenberg).
Dans une seconde partie, nous adaptons et utilisons la méthode des
bases réduites développée dans des travaux de Y. Maday, A. T. Patera et
al. pour simuler efficacement divers modèles multi-échelles. Le principe
est d'approcher numériquement chaque élément d'une collection paramétrée
d'objets dans un espace de Hilbert par la plus proche combinaison
linéaire dans le meilleur sous-espace vectoriel engendré par quelques
éléments bien choisis au sein de la même collection paramétrée. Nous
appliquons ce principe pour des problèmes numériques liés:
- à l'homogénéisation numérique d'équations elliptiques scalaires du
second-ordre (coefficients de diffusion oscillant à deux échelles), puis
- à la propagation d'incertitudes (calculs de moyenne et variance) dans
un problème elliptique avec coefficients stochastiques (champ aléatoire
borné coefficient dans une condition de bord du troisième type), enfin
- au calcul Monte-Carlo avec variable de contrôle de l'espérance de
variables aléatoires paramétrées, en particulier des fonctions de
processus stochastiques paramétrés utilisés dans les modèles micro-macro
de fluides polymériques.
Dans chaque application, les bases réduites visent à accélérer les
calculs sans perte de précision.
Mots-clefs : Fluides viscoélastiques, Méthode des éléments finis,
Méthode des bases réduites, Homogénéisation numérique, Propagation
d'incertitudes, Réduction de Variance
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