Enseignants : Colette Guillopé, El-Maati Ouhabaz.

Le but de ce cours est d'introduire plusieurs méthodes couramment utilisées pour la résolution de problèmes d'évolution qui sont décrits par des équations aux dérivées partielles. Ce cours sera aussi l'occasion de présenter aux étudiants les outils fonctionnels nécessaires à l'étude de ces équations.

Nous commencerons par caractériser et donner des exemples des différents types d'EDP (paraboliques, hyperboliques, mixtes) en insistant sur les problèmes spécifiques à chaque type d'équation. Après avoir introduit le cadre fonctionnel approprié, nous étudierons les méthodes de résolution suivantes :

• méthode des semi-groupes, méthode des caractéristiques,
• méthode d'approximation spectrale, méthode de Galerkin,
• méthode des éléments finis, méthode des différences finies.

A titre d'illustration de ces différentes méthodes, les exemples suivants seront traités : équation de la chaleur, équation de convection, de convection-diffusion, équation de Stokes, équation des ondes. Enfin, les problèmes d'évolution non linéaires seront abordés (en dimension 1) avec l'étude de l'équation de Burger, l'équation de Carleman, l'équation de la chaleur non linéaire et l'équation de Schrödinger non linéaire.

Bibliographie :

• H. Brezis : Analyse Fonctionnelle, Masson
• M. Berger, Nonlinearity and Functional Analysis. Academic Press.
• T. Cazenave, A. Haraux, Introduction aux problèmes d'évolution semi-linéaires. Ellipses.
• C. Johnson, Numerical Solutions of PDE by the Finite Element Method. Cambridge Univ. Press.
• P. A. Raviart, J. M. Thomas, Introduction à l'Analyse Numérique des EDP. Masson.
• R. Temam, Navier Stokes Equations. North-Holland.

Connaissances préalables requises : Théorie de l'intégration, notions d'analyse fonctionnelle.

Débouchés : Base nécessaire à tous les enseignements d'options qui sont en relations avec les équations aux dérivées partielles d'évolution.