Plan du cours

  Le programme de ce cours est prévu pour une durée de 9 fois 3 heures + un contrôle.

1. Le 5 janvier Rappels : Théorème de la limite centrale et vecteurs gaussiens
   • Outils : Théorème de la limite centrale multidimensionnel, vecteurs gaussiens
   • Applications : Méthode de Monte-Carlo, simulation de gaussiennes (TCL), test d'adéquation de loi.
   
   
2. Le 12 janvier Espérance conditionnelle
   • Outils : Définition, le cas des vecteurs gaussiens, lien avec la loi conditionnelle.
   • Applications : filtrage de Kalman en temps discret, étude des stratégies de gain dans le jeu de pile ou face.
   
   
3. Le 26 janvier Martingale à temps discret
   • Outils : Définition, exemples, convergence, éléments sur la convergence presque sûre.
   • Applications : Algorithme de Robbins et Monro, exemples d'applications (mécanique aléatoire,...).
   
   
4. Le 2 février Chaînes de Markov
   • Outils : Définition, construction par simulation, calcul d'espérance, temps d'arrêts, propriété de Markov forte.
   • Applications : gestion de stock, processus de branchement.
   
   
5. Le 9 février Chaînes de Markov (suite)
   • Outils : Propriété de Markov forte
   • Partiel : contrôle intermédaire
   
   
6. Le 23 février Mouvement brownien
   • Outils : Définition, construction par simulation, quelques propriétés.
   • Applications : lien avec l'équation de la chaleur, interprétation probabiliste de certains schémas aux différences finies, une version élémentaire du théorème de Girsanov, applications.
   
   
7. Le 1 mars Intégrale stochastique et formule d'Itô
   • Outils : Propriétés de l'intégrale stochastique, formule d'Itô
   • Applications : le processus d'Orstein-Ulhenbeck, le processus de Black et Scholes, étude détaillée. Application à certains calculs explicites d'espérance en finance.
   
   
8. Le 8 mars Équations différentielles Stochastiques, Formule de Feynman-Kac
   • Outils : Définition, théorème d'Itô, formule de Feynman-Kac.
   • Applications : mesure invariante d'une diffusion (application en mécanique aléatoire), modèles de propagation de polluants.
   
   
9. Le 22 mars Processus Markovien de sauts
   • Outils : Processus de Poisson, définition, construction, propriétés; Processus Markovien de sauts, générateur.
   • Applications : technique de chocs fictifs, neutronique et équations de transport.
   
   
10. Le 29 mars Contrôle