// Question 5

// La formule de Black et Scholes
// pour verifier

function [y]=NN(x)
  [y,Q]=cdfnor("PQ",x,0,1);
endfunction

function [res] = BS_Call(S_0,K,sigma,r,T)
  d1=(log(S_0/K)+(r+sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));
  d2=d1-sigma*sqrt(T);
  res=S_0*NN(d1)-K*exp(-r*T)*NN(d2);
endfunction

// Le payoff

function [y]=call(x,K)
  // ones(x) rend la fonction vectorielle :
  //    x peut etre un vecteur auquel cas y est un vecteur de meme taille
  y=max(x-K*ones(x),0);
endfunction

function []=test_call_girsanov(r, sigma, S_0, T, K, lambda,N)
  W_T = sqrt(T)*rand(1,N,"gauss");
  S_T = S_0*exp((r-sigma^2/2)*T + sigma*(W_T+lambda* T));
  payoff = exp(-r*T) * call(S_T,K);
  // Pour l'importance voir la formule du texte 
  importance =   *************...************ ;
  payoff = importance .* payoff; 
  
  estimation=mean(payoff);  // estimation de la moyenne
  ecart_type=stdev(payoff); // estimation de l'ecart type
  erreur=1.96*ecart_type/sqrt(N); // demi-largeur de l'intervalle de confiance

  printf("Girsanov, lambda=%f, N=%d, %f +- %f\n",lambda, N, estimation, erreur);
endfunction

T=1; // an
S_0=100; 
r=0.05; // par an
sigma=0.3; // par racine d'annee sigma^2 * T  est sans dimension

N=10000;

K=150;

lambda=0;// simulation naturelle, importance=1
test_call_girsanov(r, sigma, S_0, T, K, lambda,N);

lambda= (log(K/S_0)-(r-sigma^2/2)*T)/(sigma*sqrt(T));
    // avec ce lambda avec proba 1/2,  S_T > K, condition d'exercice 
test_call_girsanov(r, sigma, S_0, T, K, lambda,N);

// Vérification
BS_Call(S_0,K,sigma,r,T)

K=200;

lambda=0;// simulation naturelle, importance=1
test_call_girsanov(r, sigma, S_0, T, K, lambda,N);

lambda= (log(K/S_0)-(r-sigma^2/2)*T)/(sigma*T);
    // avec ce lambda avec proba 1/2,  S_T > K, condition d'exercice 
test_call_girsanov(r, sigma, S_0, T, K, lambda,N);

// Vérification
BS_Call(S_0,K,sigma,r,T)