Première partie
Calculs à la Gauss. Formules de Gauss pour les petites erreurs
Chapitre 1. Les diverses approches
Ce qui est enseigné ordinairement et sa critique - Classification des calculs d'erreur.
Chapitre 2. Exemples en dimension finie
Frottement visqueux - Cordes de Joseph Bertrand - Système de Ptolémée - Champ de vitesses - Systèmes dynamiques - Erreur fonction de la valeur mesurée - Opérateur quadratique de Gauss - Intégrale de Riemann d'une fonction mal connue
Chapitre 3. Introduction intuitive aux structures d'erreur
Ordres de grandeur des erreurs - Description des petites erreurs par biais et variances - En dimension 1 - En dimension 2 - Notion intuitive de structure d'erreur - Structure d’erreur, définition provisoire - Le biais - En résumé - Comment procéder è un calcul d'erreur - Application : intégration par partie.
Chapitre 4. Erreurs faiblement et fortement aléatoires
La dichotomie des petites erreurs - L'analyse numérique usuelle revisitée - Les erreurs dues aux graduations sont fortement aléatoires.
Deuxième partie
Modèles probabilistes et fonctionnels. Définir un calcul d'erreur intrinsèque
Chapitre 5. Semi-groupes fortement continus et formes de Dirichlet
Rappels - Semi-groupes fortement continus sur un espace de Banach - Le semi-groupe d'Ornstein–Uhlenbeck sur R et la forme associée - Détermination du domaine D pour ce semi-groupe
Chapitre 6. Structures d'erreur
Définition fondamentale et premiers exemples - Mener des raisonnements dans les structures d'erreur - Continuité Gamma - Approximation par des fonctions bornées - Approximation par sous-suite - Suite faiblement bornée - Calculs fonctionnels lipschitziens - Existence de densités - Fermabilité de pré-structures et autres exemples.
Chapitre 7. Images et produits de structures d'erreur
Images - Produits finis - Produits infinis.
Chapitre 8. Le gradient et le dièse et autres outils
Exemples simples commentés - Tube cathodique - Commentaire sur le choix de Gamma[X] et de A[X] - Modèles de taux d'intéret - Le gradient et le dièse - Le gradient - Le dièse - L'adjoint ou opérateur divergence - Formules d'intégration par parties - Sensibilité à un coefficient fonctionnel - Structures d'erreur sur les espaces fonctionnels - Choix de la probabilité a priori - Choix de Gamma - Fonctions analytiques dans le disque unité - Fonctions dans L2 - Sensibilité d'une équation différentielle ordinaire - Sous-structures et projections - Sous-structures d'erreur - Remarques sur les projections et le calcul conditionnel - Gradient-mesure stable par image - Le gradient à valeur mesure - Images - Exemple.
Chapitre 9. Structures d'erreur sur les espaces fondamentaux
Structures d'erreur sur l’espace de Monte Carlo - Structure sans termes de bords - Exemple : Sensibilité d'une chaine de Markov - La structure pseudo-gaussienne sur l'espace de Monte Carlo - Décomposition de Hoeffding-Sobol - Analyse de sensibilité globale ou locale - Structures d'erreur sur l'espace de Wiener - L'intégrale stochastique de Wiener - Structures d'erreur produit - La structure d'Ornstein–Uhlenbeck - Structures avec temps erroné - Structures de type Mehler généralisé - Théorème de type Donsker - Convergence en loi de Dirichlet - Convergence d'une promenade aléatoire erronée - Application - Indépendance asymptotique - Structures d'erreur sur l'espace de Poisson - Construction d'une mesure aléatoire de Poisson - Structure blanche sur l'espace de Poisson général - La structure d'erreur de Carlen-Pardoux.
Troisième partie
Les subtilités de la notion de biais. La non-antisymétrie des erreurs d'approximation
Chapitre 10. Approximations et opérateurs de biais
Les opérateurs de biais - Erreur dans le théorème de Glivenko-Cantelli - Formules typiques du calcul d'erreur fini-dimensionnel - Triplet typique - Séries à accroissements indépendants - Queues de martingales - Imprécision naturelle du mouvement brownien - Imprécision naturelle dans le théorème de limite centrale - Le cas Donsker par les approximations - Lois empiriques et pont brownien - Imprécision naturelle du pont brownien - Lois empiriques erronées et structures de type Mehler sur le pont brownien - Autre approche du theéorème de Donsker - Intégrale stochastique - Equations différentielles stochastiques et schéma d'Euler - Retour sur les erreurs faiblement aléatoires.
Chapitre 11. Calculs et méthodes de simulation
Le biais simulé par paquets - Visualisation géométrique du biais - Méthode du décalage (shift) - Suites réparties selon la mesure de Wiener - Intégration de fonctions continues de fonctionnelles du premier chaos - Un résultat effectif - Accélération de simulations grace aux structures d’erreur - Diminution de la variance grace au biais - Comparaison des vitesses - Formules explicites directes - Minimiser l'erreur, équations d'Euler stochastiques - Cas se ramenant au calcul des variations classique - Réduction de variance et d'erreur - Equations d'Euler stochastiques - Troisième forme.
Quatrieème partie
Structures d'erreur dans les applications. Identification d'une structure d'erreur
Chapitre 12. Identification statistique des structures d'erreur
Identité de Cramer-Rao et identification fondamentale - Modèles réguliers - Inégalité de Cramer-Rao - Changement de variables : cas injectif - Cas injectif régulier - Cas injectif non régulier - Indications sur le cas non injectif - Structures produit.
Chapitre 13. Structure instantanée d'un processus
Cas d'un processus de Markov - Processus stationnaire gaussien - Processus strictement stationnaire non gaussien - Exemple lié au filtrage de Wiener - Investigations sur les erreurs cumulatives - Dièse approché - Exemple - Martingale au sens de la forme de Dirichlet.
Chapitre 14. Modèles inspirés de la finance
Structure d'erreur instantanée d'un actif financier - Mouvement brownien géométrique et structure d'erreur log-normale homogène - Modèle avec trois devises compatibles - Calculs d'erreur sur le modèle de Black-Scholes - Sensibilité du pricing et de la couverture théoriques aux erreurs sur les paramètres - Erreurs dues au trader - Cas d'un modèle de diffusion - Sensibilité du modèle théorique à des erreurs sur le mouvement brownien - Sensibilité de la solution d'une EDS à une erreur sur une des fonctions coefficient de l'équation - Erreur sur la volatilité locale due au trader.
Chapitre 15. Exemples en physique
Exemple fini-dimensionnel - Épreuves répétées, discussion d'une remarque de Poincaré - Systèmes projectifs et épreuves répétées - Calcul de longueurs par la méthode de Cauchy-Favard - Température d'équilibre d'un solide homogène.
Chapitre 16. Principe des fonctions arbitraires et structures d'erreur
Structures d'erreur naturelles sur certains systèmes dynamiques - Théorèmes limites dans le style Poincaré-Hopf - Cas multidimensionnel, exemples - Biais dans le principe des fonctions arbitraires en dimension finie - Théorème de type Girsanov pour les structures d'erreur - Mesures de Rajchman - Principe des fonctions arbitraires sur l'espace de Wiener - Martingales de type Rajchman - Conditions suffisantes de fermabilité sur l'espace de Wiener - Equations différentielles stochastiques tirées de la mécanique.
Cinquième partie
Eléments historiques et thèmes de recherche. Le monde microscopique est très richement aléatoire
Chapitre 17. Calculs d'erreurs depuis Gauss et Laplace
Différentes sortes de calculs d'erreur - Gauss inventeur de l'opérateur quadratique - Pourquoi demander que la forme quadratique soit fermée? - Forme de Dirichlet engendrée par une approximation - Des petites erreurs, qu'est-ce que cela signifie? - Origines du principe des fonctions arbitraires.
Chapitre 18. Prolongements et questions ouvertes
Questions liées aux applications - Extension des méthodes statistiques - Problèmes aux limites - Endomorphismes de structures d'erreur - Physique statistique et quantique - Approfondissements et prolongements de la théorie des erreurs - Méthode de simulation par paquets - Extension de l'interprétation par l'information de Fisher à la dimension infinie - Limites projectives avec le générateur au lieu de la forme - Répartition empirique de suites équiréparties - Structure d'erreur instantanée d'un processus stochastique - Structures d'erreur et théorie des capacités - Probl&eagrave;mes mathématiques ouverts et conjectures - Caractérisation des formes de Dirichlet en dimension 2 et supérieures - Conjecture de la densité de l'énergie image (EID)
Indications sur les exercices
Références pédagogiques
Bibliographie chronologique
Index
