Cours d'analyse de première année de l'ENPC
De la mécanique à la finance, en passant par l'environnement et les
transports, les domaines scientifiques et techniques couverts par la
formation dispensée à l'ENPC font intervenir massivement
des modèles reposant sur des équations aux dérivées partielles (EDP).
L'objectif de ce cours est de présenter certains outils
mathématiques de base permettant d'apréhender ce type d'équations.
Il ne s'agit pas de réaliser une étude exhaustive des principales
techniques d'analyse des EDP, mais de traiter complètement un cas
important, celui du problème de Poisson sur un ouvert borné avec
conditions aux bords de Dirichlet. Les questions auxquelles nous allons
tenter de répondre sont les suivantes:
- Ce problème a-t-il une solution?
- Si oui, est-elle unique?
Le problème étudié est un problème aux limites en ce
sens qu'il fait intervenir une EDP et une condition au bord. On pourra
se représenter la solution du problème comme
la déformation verticale sous un chargement d'une membrane élastique
à réponse linéaire tendue et fixée à son bord.
Le problème étudié présente le triple avantage d'être
- un problème standard en analyse des EDP,
- un problème générique en sciences de l'ingénieur (on le retrouve
en mécanique, en thermique, en électromagnétisme, en biologie, en
finance, ...),
- le problème aux limites pris comme exemple dans le cours de Calcul
Scientifique pour mettre en oeuvre la méthode des éléments finis.
L'étude de ce problème permet également d'illustrer très clairement
l'une des idées phares de l'analyse moderne: l'utilisation d'outils de
géométrie sur des espaces vectoriels de dimension infinie
permet d'obtenir simplement et élégamment des résultats d'analyse.
Programme du cours:
- Espaces de Banach (suites de Cauchy, complétude, théorème du point
fixe de Picard, théorème de Cauchy-Lipschitz),
- Espaces de Hilbert, théorème de projection,
- Intégrale de Lebesgue et espaces Lp,
- Distributions (premiers exemples, espaces de Sobolev H1
et H10, lemme de Poincaré),
- Théorème de Riesz, théorème de Lax-Milgram, formulation
variationnelle, application à la résolution du problème de Poisson,
- Transformée de Fourier.
Enseignant responsable:
Eric Cancès.
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Dernière mise à jour: mars 2006.