Mathématiques des modèles multi-échelles
Départment IMI, deuxième année de l'ENPC
Frédéric Legoll et
Mathieu Lewin.
Le polycopié.
Objectifs
De nombreux problèmes en physique, mécanique, sciences de l'ingénieur,
..., font apparaitre plusieurs échelles d'espace ou de temps. Le
traitement numérique efficace de tels problèmes nécessite une approche
spécifique. Ce cours est une introduction à ce domaine.
Un exemple simple est celui des matériaux, traditionnellement décrits à
l'échelle du continuum. Cependant, de nombreux phénomènes ne peuvent pas
être décrits
par une approche aussi macroscopique. Il en est ainsi de la propagation
de fracture dans les matériaux cristallins, dont la description
nécessite de prendre en compte la nature atomistique du matériau. A une
échelle complètement différente, c'est aussi le cas des matériaux
granulaires, lorsqu'ils sont soumis à des chargements importants. Un
exemple est celui du ballast soumis au poids d'un train. Dans ces deux
cas, une stratégie numérique possible consiste à utiliser une approche
multi-échelle, où deux modèles, l'un continu et l'autre discret, écrits
à des échelles d'espace différentes, sont couplés.
L'objectif de ce cours est de former les élèves à la complémentarité des
deux approches, continue et discrète. Le point de vue sera celui du
mathématicien appliqué. Dans un premier temps, les notions élémentaires
de mécanique discrète seront introduites. Dans un second temps, nous
complèterons les connaissances acquises en première année en analyse et
calcul scientifique pour les modèles continus. Enfin, on abordera la
problématique du couplage d'échelles. Chaque aspect sera illustré par
des mises en oeuvre informatiques.
Programme
- Mécanique discrète:
-
Algorithmes d'intégration en temps d'équations différentielles
ordinaires: méthodes de Runge-Kutta
-
Modélisation d'un système particulaire: énergie potentielle et cinétique
-
Propriétés géométriques des systèmes hamiltoniens
-
Algorithmes d'intégration pour la dynamique hamiltonienne: schémas
symplectiques.
-
Notion d'équations équivalentes.
-
Problèmes multi-échelles en temps.
- Analyse pour les problèmes continus:
-
Opérateurs compacts, diagonalisation des opérateurs compacts
auto-adjoints, application au calcul des valeurs propres du laplacien
-
Méthodes numériques pour la résolution de problèmes aux valeurs propres
-
Equations d'évolution: étude par décomposition spectrale de l'équation
des ondes et de l'équation de la chaleur
-
Méthodes numériques de résolution des équations d'évolution.
-
Problèmes variationnels non linéaires: équations d'Euler-Lagrange, cas
convexe, cas non convexe. Relaxation du problème. Modèle discret pour la
mécanique, et discussion du modèle continu à l'échelle macroscopique à
la lumière du modèle discret microscopique.
- Vers les approches multiéchelles:
-
Couplage d'un modèle discret microscopique avec un modèle continu
macroscopique
-
Calcul de lois de comportement macroscopiques à partir d'un modèle
microscopique.
Divers
Contrôle des connaissances: examen final et rendu des TP.
Documents pédagogiques et bibliographie:
-
Polycopié et codes informatiques.
-
G. Allaire, Analyse numérique et optimisation, Cours à l'Ecole
Polytechnique.
-
L.C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate studies in
Mathematics, vol. 19, AMS 1998.
-
C. Le Bris, Systèmes multi-échelles: modélisation et simulation, SMAI
Mathématiques et Applications vol. 47, 2005.
-
B. Leimkuhler, S. Reich, Simulating Hamiltonian Dynamics, Cambridge
University 2005.
Planning 2010 du cours
- Séances 1 et 2 (5 et 12 mars): Problème aux valeurs propres
- Séances 3 et 4 (19 mars et 2 avril): Mécanique discrète
- Séance 5 (9 avril): TP Intégration numérique de systèmes
hamiltoniens
- Séances 6 et 7 (16 et 30 avril): Problèmes d'évolution
- Séances 8 et 9 (7 et 14 mai): Optimisation
- Séance 10 (21 mai): TP Equations d'évolution
- Séance 11 (28 mai): Du discret au continu
- Séance 12 (11 juin): TP Du discret au
continu
- Séance 13 (18 juin): Examen final
Retour à la page principale
Dernière mise à jour: juillet 2010.