Mathématiques des modèles multi-échelles

Département IMI, deuxième année de l'ENPC


Virginie Ehrlacher et Frédéric Legoll (resp.).

Le polycopié.

Objectifs

La theorie spectrale est un outil qui permet de decomposer les operateurs (par exemple le laplacien) selon leurs modes fondamentaux. Cette theorie mathematique a de nombreuses applications pour l'ingenieur (par exemple, le calcul des modes propres de vibration d'une structure du genie civil), parfois spectaculaires (ruine de la structure par excitation trop importante de certains modes de vibration, cf. l'exemple du pont de Tacoma).

Nous verrons dans un premier temps comment decomposer une equation aux derivees partielles en ses modes propres generalises par le biais de la theorie spectrale, en dimension infinie (ce qui necessite plusieurs notions nouvelles par rapport au cadre connu des eleves de la dimension finie). On montrera ensuite comment discretiser le probleme, afin d'approcher en pratique (par exemple par une methode elements finis) les valeurs et les vecteurs propres de l'operateur.

Dans un second temps, nous utiliserons cet outil pour etudier des equations d'evolution (equation de la chaleur, equation des ondes, equation de Schroedinger, ...), a la fois sur le plan theorique (proprietes qualitatives des solutions) et numerique (discretisation spectrale, estimation d'erreur).

La troisieme partie du cours sera consacree a des problemes d'optimisation en dimension infinie (minimisation d'une energie, eventuellement sous contraintes). Apres avoir etudie dans un cadre general le cas ou la fonctionnelle est convexe, on s'interessera a des cas non convexes.

Une seance du cours sera faite sous la forme d'un TP informatique.

Programme

  1. Theorie spectrale:


  2. Equations d'évolution:


  3. Problèmes variationnels non linéaires:

Divers

Contrôle des connaissances: examen final et rendu des TP.

Documents pédagogiques et bibliographie:

Planning 2017 du cours:



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Dernière mise à jour: mars 2017.