Module Méthodes de Monte Carlo en Finance
Accélération de convergence pour le calcul d’options dans un modèle à volatilité stochastique

Benjamin Jourdain
(last modification date: April 9, 2018)
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1 Réduction de variance
2 Réduction du biais pour les options barrières

Contents

1 Réduction de variance
 1.1 Conditionnement
 1.2 Variable de contrôle construite avec le modèle de Black-Scholes
 1.3 Régression sur le sous-jacent actualisé
2 Réduction du biais pour les options barrières
 2.1 Options asiatiques
 2.2 Réponses

L’objectif de ce TP en scilab est d’illustrer numériquement les techniques d’accélération de convergence vues en cours. On se place dans le modèle à volatilité stochastique suivant :

{ dYt = − αYtdt + βdW t1 1 ∘ -----2 2 dSt = (σ0 + Yt)St(ρdW t + 1 − ρ dW t ) + rStdt
(1)

où α,β > 0, Y 0 = 0, ρ ∈ [−1, 1] et (W1,W2) est un mouvement brownien de dimension 2.
Pour une option européenne d’échéance T et de payoff f(St,t ≤ T) on souhaite calculer 𝔼(e−rT f(S t,t ≤ T)). Bien entendu, il est nécessaire pour cela de discrétiser l’équation différentielle stochastique (1) : on note N ∈ ℕ∗ le nombre de pas de temps, Δt = T∕N le pas de discrétisation et pour k ∈{0,…,N}, tk = kΔt le k-ème instant de discrétisation.
Nous allons successivement étudier

1 Réduction de variance

On note Xt = e−rtS t le sous-jacent actualisé.

  1. Calculer dXt puis écrire le payoff actualisé du Call vanille à l’aide de XT .
  2. Quelle est la loi du couple (Y tk+1 − e−αΔtY tk,Wtk+11 − W tk1)? Et celle du vecteur (Y tk+1 − e−αΔtY tk,ρ(Wtk+11 − W tk1) + ∘ -----2 1 − ρ(W tk+12 − W tk2))?
  3. Quel est l’intérêt du schéma de discrétisation suivant
    ( ∘ ---−2αΔt |||{ ¯YtNk+1 = e−αΔt¯YtNk + βg1k+1 1−e2α--- ¯N ¯N ( ¯N √ --) | X tk+1 = X tk∘ 1 +-(σ0-+-Y-tk-)gk+1 Δ∘t---------------- ||( g = ρg1 -2(1−-e−αΔt)2-+ g2 1 − 2ρ2(1−e−αΔt)2 k+1 k+1 αΔt(1− e− 2αΔt) k+1 αΔt(1−e−2αΔt)
    		(2)

    où (gk1,g k2) k≥1 est une suite de couples i.i.d. avec g11 et g 12 gaussiennes centrées réduites indépendantes? C’est ce schéma que nous allons utiliser dans la suite.

1.1 Conditionnement

On se place dans le cas ρ = 0 où le mouvement brownien qui dirige le processus Y et le mouvement brownien qui dirige le processus X sont indépendants.

  1. Comment le schéma se simplifie-t-il? Implémentez-le sous forme vectorielle dans le programme VScondit_Q.sce en prenant garde à mettre à jour X avant de mettre à jour Y .
  2. Que vaut Z = 𝔼((XT − Ke−rT )+|Y t,t ≤ T)? Comment comparer V ar(Z) et V ar((XT − Ke−rT )+)?
  3. Stockez dans la variable somcarsig la somme des carrés des volatilités utilisées sur chaque pas de temps. Que représente ∘ -------------- somcarsig ∕N?
  4. Exécuter le programme (exec VScondit_Q.sce). Quelle réduction de variance obtient-on par conditionnement? Comment évolue le facteur de réduction avec le niveau moyen de la volatilité σ0? Et avec le niveau β du bruit de la volatilité? Est-ce intuitif?

1.2 Variable de contrôle construite avec le modèle de Black-Scholes

On ne suppose plus ρ = 0 et on va utiliser (S0eσ0(ρWT1+√1-−ρ2WT2)−σ20T- 2 −Ke−rT )+ comme variable de contrôle pour le calcul du prix du Call.

  1. Implémentez le schéma général dans le programme VSvarcontBS_Q.sce. Implémentez également l’évolution du processus de Black-Scholes actualisé pour la volatilité σ0 avec les mêmes accroissements browniens que ceux qui dirigent X.
  2. Stockez dans le vecteur paycont les payoffs correspondant au sous-jacent actualisé moins ceux correspondant au processus de Black-Scholes actualisé. Exécutez le programme (exec VSvarcontBS_Q.sce).

1.3 Régression sur le sous-jacent actualisé

  1. Que vaut 𝔼(XT N)? Pour quelle valeur γ∗ de γ la variance de (X T N−Ke−rT )+−γX T N est-elle minimale? Estimez γ∗ dans la variable coef du programme VSvarcontS_Q.sce puis exécutez ce programme.
  2. L’évolution du facteur de réduction de variance avec le strike K est-elle conforme à l’intuition?

2 Réduction du biais pour les options barrières

On s’intéresse au Call Up and Out de payoff 1{max [0,T]St<b}(ST − K)+.

  1. Déduire de (2) un schéma (StkN,Y tkN) 0≤k≤N permettant de simuler le sous-jacent S.
  2. Que vaut ℙ( ) max S¯N ≥ b|Y¯N , ¯SN , ¯SN [tk,tk+1] t tk tk tk+1?
  3. Implémentez le schéma et mettez à jour la probabilité conditionnelle pour que le schéma en temps continu n’ait pas franchi la barrière dans le programme VSbarriere_Q.sce. Exécuter ce programme avec β = 0 pour comparer avec la formule explicite qui donne le prix de l’option barrière dans le modèle de Black-Scholes avec volatilité σ0. Reprendre avec β = 0.1.

2.1 Options asiatiques

Exécuter le fichier suivant BSasiat.sce

2.2 Réponses