Sea t el tiempo medido en unidades discretas (tales como años). Sea B(t) la biomasa de una población en el tiempo t (en el intervalo [t,t + 1)). Se considera el modelo de Schaefer
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donde Biol es la dinámica de la población y h(t) es la cosecha o recolección de la especie considerada. Note que, en el intervalo de tiempo [t,t + 1), primero se dá el crecimiento de la población existente y luego la cosecha1 .
El rendimiento sostenible he = Sust(Be) resuelve Be = Biol(Be) − he, del cual se obtiene:
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La capacidad de carga es el nivel K > 0 de biomasa positiva tal que Biol(K) = K, es decir Sust(K) = 0.
El máximo rendimiento sostenible hmse y el correspondiente máximo equilibrio sostenible Bmse están dados por
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De [1, p. 258] y a partir de simulaciones numéricas, se considera como ejemplo el Atún Aleta Amarilla del Pacífico con los valores de los parámetros dados en la Tabla 1.
Atún Aleta Amarilla del Pacífico | |
Crecimiento intrínseco anual | R = 2.25 |
Capacidad de carga | K = 250 000 toneladas métricas |
capturabilidad | q = 0.0000385 por DEP |
Precio | p = $ 600 por tonelada métrica |
Costo | c = $ 2500 por DEP |
El modelo Beverton-Holt está dado por la ecuación en tiempo discreto
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donde
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Pregunta 2 Seleccione un nivel de biomasa Be entre la máxima biomasa sostenible Bmse
y la capacidad de carga K. Calcule el rendimiento sostenible correspondiente he.
Dibuje la trayectoria estacionaria correspondiente al modelo de Schaefer (1) con la dinámica de Beverton-Holt (4) y h(t) = he. Dadas dos condiciones iniciales diferentes en la vecindad del equilibrio de la biomasa Be, dibuje las trayectorias correspondientes. Determine si la gráfica confirma o no que el equilibirio de la biomasa Be es un atractor.
Pregunta 3 La gráfica confirma o no el hecho de que el equilibrio de la biomasa Be es estable? Justifique claramente su respuesta. Qué se puede decir acerca de la estabilidad asintótica del equilibrio de la biomasa Be?
Pregunta 4 Encuentre un estado de equilibrio Be que no sea un atractor. Muestre que Be no es atractor con algunas trayectorias. Qué se puede decir acerca de la estabilidad asintótica de la biomasa en equilibrio Be?
Con precio p, y coeficiente de captura q y costos unitarios de recolección c, el equilibrio de propiedad privada (ppe) es la solución de equilibrio (Bppe,hppe) = (Bppe,Sust(Bppe)) la cual maximiza la renta como sigue:
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El equilibrio de propiedad común Bcpe hace que la renta sea nula y está dada por
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El modelo logístico es caracterizado por la ecuación en tiempo discreto
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donde R ≥ 1 y r = R − 1 ≥ 0 es la tasa per-capita de crecimiento (para pequeñas poblaciones), y κ está relacionado con la capacidad de carga K (La cual resuelve Biol(K) = K) como:
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Se tiene
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Pregunta 6 Adapte el anterior código Scilab al modelo logístico, y compare los resultados.
El modelo de Ricker está caracterizado por la ecuación en tiempo discreto
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Pregunta 7
Adapte el anterior código Scilab al modelo de Ricker , y compare los resultados. Intente procedimientos numéricos: escribiendo help fsolve para obtener información acerca del solver Scilab.