Suites à discrépance faible

LAPEYRE Bernard

28 mars 2018

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Le cas unidimensionnel

1. Programmer la suite de Van Der Corput d'odre $p$. Tester cette suite avec la fonction $x$, puis avec la fonction $\sin(2\pi n x)$ avec $n=1,n=1000,n=10000,n=1000000$. Quelle est la meilleure suite du point de vue de la vitesse de convergence ?
   Correction
2. Utiliser la suite de Van Der Corput pour génèrer une suite de ``gaussiennes'' en utilisant la méthode de l'inverse de la fonction de répartition. Comparer avec une méthode de Monte-Carlo.

   La vitesse de convergence de la méthode de Monte-Carlo dépend elle de la technique de simulation ?

   Correction
3. Calculer un call dans le modèle de Black et Scholes en utilisant la suites de Van Der Corput et les suites aléatoires.
   Correction

Suite de Halton en dimension 2

1. Soit $X$ une suite de Van Der Corput en base 2. Vérifier par simulation que la covariance empirique des couples $Y_n=(X_{2n},X_{2n+1})$ ne tend pas vers $0$ lorsque la taille de l'échantillon tend vers l'infini. Pouvez vous utiliser la suite $Y$ pour simuler des tirages indépendants selon la loi uniforme ?
   Correction
2. Construire une suite de Halton en dimension deux. Utilisez cette suite pour construire un générateur de gaussienne à l'aide de la méthode polaire. A quelle vitesse calcule t'on l'espérance de la gaussienne grace à cette méthode ? Comparez à la méthode de la première partie.
   Correction
3. Utilisez ce générateur quasi Monte-Carlo de gaussienne pour estimer le prix d'un put et d'un call. Comparer à la méthode de la première partie.
   Correction

Suite de Halton en dimension grande

1. Construire une suite de Halton en dimension $d$. Tester cette suite sur la fonction
   
   $$\prod_{i=1}^d \sin(2\pi n x_i),$$
   
   
   pour diverses valeurs de $n$ et de $d$.
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2. En déduire un générateur quasi Monte-Carlo de $d$ gaussiennes indépendantes à l'aide de la méthode de l'inverse de la fonction de répartition. Utiliser ce générateur pour calculer le prix d'une option sur indice (voir TD2).
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3. Construire un générateur quasi-Monte-Carlo de $d$ gaussiennes indépendantes à l'aide de la méthode polaire. Comparer ce générateur au générateur de la question précèdente dans le calcul d'un put et d'un call.
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