2.7 Un exemple : la triangulation de systèmes linéaires

Les tableaux forment la structure de données de base pour de nombreux algorithmes numériques. En voici un exemple classique. La méthode de Gauss transforme un système linéaire en un système triangulaire équivalent. L'idée est de résoudre la première équation en $x_0$, puis d'éliminer $x_0$ des équations suivantes, ensuite de résoudre la seconde équation en $x_1$, puis d'éliminer $x_1$ des équations suivantes, et ainsi de suite. Initialement, on a le système de $N$ équations à $N$ inconnues :

$$\sum_{j=0}^{N-1} a_{ij} x_j = b_i, \qquad 0 \le i\le N-1$$

Pour décrire l'algorithme, on posera $a_{ij}^0 = a_{ij}$ et $b_i^0 = b_i$. Après $k$ itérations, on obtient le système :

$$\renewedcommand{arraycolsep}{1pt}\begin{array}{ccccccccccccc... ...\ldots &+ &a_{N-1,N-1}^k x_{N-1} & = &b_{N-1}^k \\ \end{array}$$

Les $k$ premières équations ne seront plus modifiées. Il faut maintenant éliminer $x_k$. On n'utilise pas nécessairement l'équation $a_{kk}^k x_k + \ldots$ car il se peut que le coefficient $a_{kk}^k$ soit nul ; on va donc chercher un indice $l$, avec $k\le l\le N-1$, tel que $a_{lk}^k$ ait la plus grande valeur absolue (pour minimiser les problèmes d'arrondi). Si la valeur du pivot est non nulle, on échange les équations $a_{kk}^k x_k + \ldots$ et $a_{lk}^k x_k + \ldots$. Après cet échange, les $k+1$ premières équations ne seront plus modifiées. On a donc désormais $a_{kk}^k \not= 0$. On peut donc éliminer $x_k$ de la ligne $i$ ( $k+1\le i \le N-1$) en ajoutant cette ligne à $-a_{ik}^k/a_{kk}^k$ fois la ligne $k$ : on obtient ainsi les coefficients du système à l'issue de cette $k+1$-ème itération, par « pivotage » :

$$\begin{array}{rcll} a_{ij}^{k+1} &= &a_{ij}^k - a_{ik}^k a_{... ..._{ik}^k b_{k}^k / a_{kk}^k, &\quad k+1\le i \le N-1 \end{array}$$

Ceci se transcrit en la procédure pivoter. Si, à l'une des itérations, la valeur du pivot est nulle, c'est que le système n'est pas régulier, et la résolution s'arrête (c'est le rôle du break dans la fonction gauss). Si le système est régulier (c'est-à-dire de rang $N$), il est transformé en un système triangulaire supérieur en $N-1$ itérations. Il reste à résoudre ce système triangulaire. La complexité de cet algorithme est en $\Theta(N^3)$. Voici les fonctions réalisant cet algorithme :

public class Gauss {

  static int pivot(double[][] a, int k) {
    // cherche l'indice d'un pivot dans k..dim-1
    int l = k;
    double max = Math.abs(a[k][k]);

    for (int i=k+1; i<dim; i++) {
      if (Math.abs(a[i][k]) > max) {
        l = i;
        max = Math.abs(a[i][k]);
      }
    }
    return l;
  }

  static void échanger(double[][] a, double[] b, 
                               int k, int l) {
    // échange les lignes k et l du système
    double[] ligne = a[k];
    a[k] = a[l];
    a[l] = ligne;
    double temp = b[k];
    b[k] = b[l];
    b[l] = temp;
  }

  static void pivoter(double[][] a, double[] b, 
                              int k) {
    // élimine x_k des lignes k+1..dim-1
    for (int i=k+1; i<dim; i++) {
      double q = a[i][k]/a[k][k];
      b[i] = b[i] - q * b[k];
      for (int j=k+1; j<dim; j++) {
        a[i][j] = a[i][j] - q * a[k][j];
      }
    }
  }

  public static boolean gauss(double[][] a, double[] b) {

    // si le système "a x = b" est régulier, le transforme
    // en un système triangulaire en dim-1 itérations et
    // retourne true, sinon retourne false

    boolean inversible = false;
    for (int k=0; k<dim-1; k++) {
      int l = pivot(k);
      inversible = (Math.abs(a[l][k]) > EPS);
      if (inversible) {
        if (l > k) {
          échanger(k,l);
        }
        pivoter(k);
      } else break;
    }
    return inversible;
  }

  public static double[] solutionTriangulaire(double[][] a, 
                                       double[] b) {

  // calcule la solution x d'un système triangulaire
  // supérieur "a x = b" et retourne x s'il est régulier,
  // et déclenche une exception sinon

    double[] x = new double[dim];
    for (int i=dim-1; i>=0; i--) {
      if (Math.abs(a[i][i])<EPS) {
        throw new ArithmeticException("système irrégulier");
      } else {
        double v = b[i];
        for (int j=i+1; j<dim; j++) {
          v = v - a[i][j]*x[j];
        }
        x[i] = v/a[i][i];
      }
    }
    return x;
  }
}

La fonction solutionTriangulaire ne retourne un tableau solution que si le système est régulier ; sinon, elle déclenche une excpetion (voir § ). L'utilisation de cet algorithme se fait de la façon suivante :

class GaussTest {
  public static void main(String[] args) {
    double[][] membreGauche = new double[][] { ... };
    double[] membreDroit = new double[] { ... };
    if (Gauss.gauss(membreGauche, membreDroit)) {
      double[] solution = 
        Gauss.solutionTriangulaire(membreGauche, membreDroit);
      // ...
    }
  }
}