L'algorithme $\alpha \beta$

L'algorithme minimax effectue une exploration complète de l'arbre de recherche jusqu'à un niveau donné, alors qu'une exploration partielle de l'arbre pourrait suffire. Il suffit en effet, dans l'exploration en profondeur d'abord et de gauche à droite, d'éviter d'examiner des sous-arbres qui conduiront à des configurations dont la valeur ne contribuera sûrement pas au calcul du gain à la racine de l'arbre.

Dans les exemples de la figure 23 certains nuds ont une valeur définitive alors que les autres (étiquetés avec un nom de variable) n'en ont pas encore reçu. D'après la définition de la fonction minimax la valeur de la configuration racine de l'arbre (a) est obtenue par

$$u=\mathrm{max}\{5,v\} \mbox{, où } v = \mathrm{min}\{4,\dots\}.$$

Il est clair que $u=5$ indépendamment de la valeur de $v$. Il en résulte que l'exploration des branches filles du nud étiqueté par $v$ peut être omise : on réalise ainsi une coupure superficielle. En appliquant récursivement le même raisonnement à l'arbre (b), on en déduit que la valeur de $u$ peut être obtenue sans connaître la valeur finale de $y$. De même que précédemment, l'exploration des branches filles du nud étiqueté par $y$ n'est pas nécessaire : on parle alors de coupure profonde.

Plus généralement, lorsque dans le parcours de l'arbre minimax il y a modification de la valeur courante d'un nud, si cette valeur franchit un certain seuil, il devient inutile d'explorer la descendance encore inexplorée de ce nud. On distingue deux seuils, appelés $\alpha$ (pour les nuds Min) et $\beta$ (pour les nuds Max) :

• le seuil $\alpha$, pour un nud Min $s$, est égal à la plus grande valeur (déjà déterminée) de tous les nuds Max ancêtres de $s$. Si la valeur de $s$ devient inférieure ou égale à $\alpha$, l'exploration de sa descendance peut être arrêtée ;
• le seuil $\beta$, pour un nud Max $s$, est égal à la plus petite valeur (déjà déterminée) de tous les nuds Min ancêtres de $s$. Si la valeur de $s$ devient supérieure ou égale à $\beta$, l'exploration de sa descendance peut être arrêtée.

L'algorithme $\alpha \beta$ peut être décrit informellement par la fonction suivante, qui maintient ces deux seuils pendant le parcours de l'arbre. Un appel à alphabeta(s, $-\infty$, $+\infty$) détermine une évaluation du jeu issu de la configuration $s$.

int alphabeta (configuration s, int , int ) {
   if (feuille(s)) return h(s);
   if (type(s) == MAX) {
      int m = ;
      for (configuration s' ) {
         int t = alphabeta(s', m, );
         if (t >  m) m = t;
         if (m >= ) return m;
      }
      return m;
   }
   if (type(s) == MIN) {
      int m = ;
      for (configuration s' ) {  
         int t = alphabeta(s', , m);
         if (t <  m) m = t;
         if (m <= ) return m;
      }
      return m;
   }
}
   

Contrairement aux fonctions $p$ (§ 76) et minimax (§ 77), le calcul des valeurs de alphabeta se fait de façon à la fois ascendante et descendante. Chaque noeud de l'arbre se trouve affecté de trois attributs : la valeur $m$ de la configuration et les seuils $\alpha$ et $\beta$. L'attribut $m$ est synthétisé, c'est-à-dire calculé de façon ascendante à partir des successeurs $s'$ de $s$. Par contre, les seuils sont des attributs hérités, c'est-à-dire calculés de façon descendante, à partir des parents : par exemple, si $s$ est un noeud de maximisation avec deux successeurs, soit $s\to s_1, s_2$, alors le seuil $\alpha$ de $s_2$ est la valeur $m$ de $s$ qui a été calculée à partir de $s_1$. L'information a donc circulé de $s_1$ à $s$, puis de $s$ à $s_2$.

La construction d'arbres comportant des attributs et l'évaluation de ces attributs sont des techniques importantes utilisées, non seulement dans les arbres de jeu, mais aussi dans la compilation des programmes.