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1 Orientation

On veut déplacer, à l’aide d’un système de levage par câble (grue ou pont roulant), une charge d’un endroit à un autre en évitant les oscillations résiduelles à l’arrivée.

L’objectif est de proposer une stratégie de commande simple et réaliste qui repose sur une structure de commande hiérarchisée, composée de régulateurs de bas niveau rapides, simples et découplés et d’une commande de haut niveau lente et prenant en compte les couplages.

En outre, on mesure la position et la vitesse du chariot ainsi que la position et la vitesse du treuil, mais la position de la charge n’est pas mesurée. C’est pourquoi nous ne considérons dans tout ce TP que des bouclages qui ne dépendent que des positions et vitesses du chariot et du treuil.

2 Modélisation

Un chariot de masse M roule sur l’axe OX, supposé représenter la flèche de la grue ou le pont s’il s’agit d’un pont roulant. Sa position est notée x. Un moteur exerce sur lui une force horizontale d’intensité F. Le chariot porte en outre un treuil de rayon ρ autour duquel s’enroule un câble assurant le levage de la charge située à son extrêmité. La position de la charge dans le repère XOZ est notée (ξ,ζ) et sa masse est égale à m. Le couple exercé sur le treuil par un second moteur est noté C. La longueur du câble, sa tension et l’angle par rapport à la verticale sont notés R, T et 𝜃 respectivement. On se place dans la configuration où R < R₀ pour éviter que la charge ne traîne par terre, et on suppose que la tension du câble T est toujours positive. On adopte en outre la convention de signe pour 𝜃 : 𝜃 ≤ 0 si ξ ≤ x et 𝜃 > 0 sinon.

Les équations du mouvement sont les suivantes :

(1)

et les contraintes géométriques entre les coordonnées des deux corps sont données par :

(2)

Pour les simulations, nous aurons besoin de la forme explicite de (1), donnée (voir le polycopié section 7.1) par

(3)

Posons

(4)

Pour les simulations, on utilise les valeurs suivantes :

Comme annoncé à la section précédente, on mesure les positions x et R ainsi que leurs vitesses ẋ et Ṙ mais on ne mesure ni 𝜃 ni . Les bouclages ne devront donc dépendre que de x, ẋ, R et Ṙ.

Pour le problème de manutention qui nous intéresse, nous ne considèrerons que des déplacements arrêt-arrêt, c’est-à-dire partant du repos et arrivant au repos, avec des durées de transfert assez courtes. Pour cela, on dispose de moteurs suffisamment puissants, ce qui évite d’imposer des limitations sur la force et le couple que le moteur et le treuil sont capables de produire.

Par contre, les coefficients Γ₁ et Γ₂ sont très mal connus (les frottements sont des phénomènes difficiles à décrire quantitativement) et seront ignorés pour la mise au point de lois de commande. Par contre, ils sont pris en compte par le programme de simulation.

3 Suivi de ligne droite quasi-statique par commande hiérarchisée

On suppose dans un premier temps que l’angle 𝜃 varie suffisamment peu autour de 0, de même que la vitesse angulaire , ce qui permet, d’après (2), de considérer que x ≈ ξ et z ≈−R.

On se propose alors de déplacer la charge en ligne droite depuis la position initiale ξ_i = x_i, ζ_i = −R_i à l’instant t_i, avec 𝜃(t_i) = (t_i) = 0, (t_i) = ẋ(t_i) = 0, Ṙ(t_i) = −(t_i) = 0, jusqu’à la position finale ξ_f = x_f, ζ_f = −R_f à l’instant t_f, avec 𝜃(t_f) = (t_f) = 0, (t_f) = ẋ(t_f) = 0, Ṙ(t_f) = −(t_f) = 0 (voir figure 2), avec des vitesses ẋ et Ṙ suffisamment faibles (déplacement quasi-statique).

Figure 2: Déplacement de la charge en ligne droite

La trajectoire de référence de la charge est donnée par :

(5)

celle du chariot par x_ref(t) = ξ_ref(t) et celle de la longueur de câble par R_ref(t) = −ζ_ref(t).

On peut choisir la durée T pour assurer que l’écart entre x et ξ et entre ζ et −R soit suffisamment petit.

Dans tout ce qui suit, le déplacement est caractérisé par

On introduit en outre les deux bouclages suivants pour assurer le suivi de trajectoire : l’un sur F de façon à asservir la position x et la vitesse ẋ à leur consigne x_ref et ẋ_ref, l’autre sur C de façon à asservir R et Ṙ à leur consigne R_ref et Ṙ_ref :

(6)

où K₁ et K₃ sont des gains et 𝜀_x et 𝜀_R des constantes de temps, qu’il s’agit de régler pour assurer le suivi désiré.

4 Suivi de trajectoire de référence

À la place des approximations de la question précédente, on calcule la trajectoire de référence exacte de x et R, donnée par (voir cours)

(7)

avec ξ_ref et ζ_ref toujours donnés par (5).

5 Évitement d’obstacle

On veut maintenant éviter un obstacle situé vers le milieu de la trajectoire de la charge comme indiqué figure 3. Plus précisément, on veut que la charge passe par le point (, 2ζ_f − ζ_i) qui doit être le maximum de la courbe suivie par la charge entre ξ_i et ξ_f.

On vérifie (voir cours) que la trajectoire polynômiale suivante :

(8)

avec ξ_ref donné par (5), satisfait les conditions posées.

On recalcule alors les références de x et R en utilisant (7) et la commande (6).