Méthode de Monte-Carlo pour le pricing d’option
Le modèle de Black et Scholes

Contents

Préliminaires

1. Ecrire une fonction Scilab qui calcule la moyenne empirique (moyenne, la variance empirique Variance empirique d’un tableau de nombre.

   Vérifiez qu’elles coïncident avec les fonctions prédéfinies de Scilab : mean, variance.

   Correction

2. Ecrire une fonction permettant de simuler un vecteur consituer de variables aléatoires gaussiennes centrées réduites indépendantes.

   Tracer l’histogramme du vecteur obtenu et verifier qu’il correspond bien à la loi gaussienne centrée réduite.

   Cette fonction existe dans Scilab (x=rand(1,n,’’gauss’’)).

   Correction

3. On cherche à calculer par simulation 𝔼(e^βG) où G est une gaussienne centrée réduite. On rappelle que 𝔼(e^βG) = exp(β²∕2).

   Calculer par simulation 𝔼(e^βG) pour β = 2, 4, 6, 8, 10…. Précisez à chaque fois une intervalle de confiance. Pour quelles valeurs de β peut on utiliser une méthode de Monte-Carlo ?

   Correction

Le modèle de Black et Scholes On considère le modèle de Black et Scholes :

On supposera dans la suite que S₀ = 100, σ = 0.3 (volatilité annuelle) et r = 0.05 (taux d’intérêt exponentiel annuel).

1. Tracer l’histogramme de la loi de S_T , pour T = 1, σ = 0.3 (volatilité annuelle) et r = 0.05 (taux d’intérêt exponentiel annuel).

   Correction

2. On cherche à calculer le prix d’un call de strike K = 100. Calculer ce prix par une méthode de Monte-Carlo avec un nombre de tirages égaux à N = 1000,1000,10000. On précisera l’intervalle de confiance.

   Correction

3. On va chercher à utiliser la variable aléatoire S_T comme une variable de contrôle. Vérifiez que 𝔼(S_T ) = e^rt (pourquoi ?).

   Ecrire un programme qui utilise S_T comme variable de contrôle. Comparer la précision de cette méthode avec la précédente suivant les valeur relative de K et S₀.

   Se convaincre que l’on a ainsi ramené le calcul du call à un calcul de put.

   Correction

4. On se place dans la cas d’un call de strike K grand devant S₀. Montrer par simulation que la précision relative du calcul au fur et à mesure que K∕S₀ décroit. On prendra S₀ = 100 et K = 100, 150, 200, 250. Que se passe t’il pour K = 400 ?

   Correction

5. Montrer en utilisant le théorème de Girsanov que :

   On se place dans le cas du call avec S₀ = 100 et K = 150. Proposer une valeur de λ permettant de réduire la variance de la simulation.

   Correction

Partie 2 : Modèle de Panier On s’intéresse à un modèle de panier constitué à partir de d actifs. On suppose que chacun de ces d actifs de prix S_tⁱ suit un modèle de black et Scholes guidé par un mouvement W_tⁱ :

On prendra dans les applications numériques x_i = 100 et d = 10.

Pour déterminer complètement le modèle on doit spécifier les corrélation entre les mouvements browniens. Pour cela on suppose que :

ρ étant une constante donnée que l’on prendra égale à 0.5 dans les simulations.

1. Calculer la matrice de corrélation du vecteur (W_T ¹,…,W _T ^d). Montrer (à l’aide de MatLab) qu’elle est définie positive.
2. Proposer une méthode de simulation pour le vecteur (W_T ¹,…,W _T ^d) et (S _T ¹,…,S _T ^d).
3. On s’intéresse maintenant au calcul du prix d’un call sur un indice de prix I_t donnée par

   On prendra dans les applications numériques a₁ = = a_d = 1∕d. Calculer par simulation la valeur du call de payoff à l’instant T

   

   et estimer l’erreur commise dans le cas où K = I₀.

4. Montrer une relation d’arbitrage call-put et montrer que l’on peut l’utiliser pour mettre en oeuvre une technique de réduction de variance.
5. En utilisant le théorème de Girsanov pour les d mouvement brownien proposer une technique de réduction de variance dans le cas où I₀ est petit devant K.
6. En supposant que r et σ tendent vers 0 monter que l’on peut approximer log(I_t∕I₀) par :

   En déduire une variable de contrôle pour le calcul du prix du call. Évaluer par simulation le gain de la méthode.