Stabilité de systèmes dynamiques linéaires plans

Michel de Lara
(last modiﬁcation date: October 10, 2017)

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1 Système dynamique linéaire plan
2 Les valeurs propres sont réelles, distinctes
et de même signe
3 Les valeurs propres sont réelles, distinctes
et de signe opposé
4 Les valeurs propres sont complexes conjuguées, distinctes
5 Les valeurs propres sont égales et A est diagonalisable
6 Les valeurs propres sont égales
et A n’est pas diagonalisable
7 L’une des valeurs propres est nulle
8 Perturbations quadratiques

1 Système dynamique linéaire plan

Un système dynamique linéaire plan est de la forme

( ) ( ) ( ) d- x1(t) = a11 a12 x1(t) = Ax (t), dt x2(t) a21 a22 x2(t)

(1)

où A est une matrice 2 × 2 non nulle à coeﬃcients réels. On notera λ₁ et λ₂ ses valeurs propres (éventuellement complexes conjuguées). Plusieurs cas sont à considérer.

Question 1 Charger la fonction syslin suivante sous Scilab. Interpréter ce que calcule cette fonction.

  function syslin(A)
    // Donne le spectre de A et
    // trace champ de vecteurs et portrait de phase
    // du système linéaire associé

    function xdot=linear(t,x)
      //attention ! on écrit linear(t,x) même si linear ne dépend pas de t
      xdot=A*x
    endfunction

    abcisse=-10:2:10;
    ordonnee=abcisse;
    time=0:0.1:100;

    xset("window",1);xbasc();
    fchamp(linear,0,abcisse,ordonnee)
    xtitle("champ de vecteurs et portrait de phase")

    x0=20*(rand(2,1)-0.5);
    res=ode(x0,0,time,linear);
    plot2d(res(1,:),res(2,:),strf = "000")

    x0=20*(rand(2,1)-0.5);
    res=ode(x0,0,time,linear);
    plot2d(res(1,:),res(2,:),strf = "000")

    // Affichage
    printf("\n");printf("LE SPECTRE DE LA MATRICE EST\n\n");
    printf("%f\n",spec(A))
    // spectre de la matrice A
    printf("\n");printf("LE PORTRAIT DE PHASE EST EN FENETRE 1\n\n");
  endfunction

2 Les valeurs propres sont réelles, distinctes
et de même signe

D’un point de vue algébrique, la matrice A admet deux vecteurs propres réels distincts v₁ et v₂. Si P = (v ;v )
1 2 est la matrice réelle de changement de base, on a A = PDiag(λ₁,λ₂)P⁻¹. Si on eﬀectue alors le changement de coordonnées z = P⁻¹x, le système (1) devient ż = Diag(λ₁,λ₂)z et les solutions s’écrivent :

( { z1(t) = z1(0) eλ1t ( z2(t) = z2(0) eλ2t.

(2)

On dit que l’origine est un nœud stable ou instable suivant que λ₁ et λ₂ sont négatives ou positives. La ﬁgure 1 représente un nœud stable. Pour avoir un nœud instable il suﬃt de changer le sens des ﬂèches.

Figure 1: Nœud stable

Question 2 Exécuter syslin(A) sous Scilab. Commenter.

A=[-1,2;0,-2]
syslin(A)

3 Les valeurs propres sont réelles, distinctes
et de signe opposé

Les solutions sont toujours de la forme (2) mais comme les valeurs propres sont de signe opposé, les trajectoires sont rentrantes dans une direction et sortantes dans l’autre. On dit que l’origine est un point-selle ou encore point-col. La ﬁgure 2 représente un point-selle pour lequel λ₁ est négative et λ₂ positive.

Figure 2: Point-selle

Question 3 Exécuter syslin(A) sous Scilab. Commenter.

A=[-1,2;0,1]
syslin(A)

4 Les valeurs propres sont complexes conjuguées, distinctes

Notons les valeurs propres

λ1 = μ + i𝜃, λ2 = μ − i𝜃, 𝜃 ⁄= 0.

D’un point de vue algébrique, la matrice A admet deux vecteurs propres complexes conjugués distincts v₁ et v₂. Si P = (v1;v2) est la matrice complexe de changement de base, on a A = PDiag(λ₁,λ₂)P⁻¹. Si on eﬀectue alors le changement de coordonnées complexes z = P⁻¹x, le système (1) devient ż = Diag(λ₁,λ₂)z. Le point complexe z₁(t) décrit la courbe

μt i𝜃t t ↦→ z1(0) e e

(3)

qui est une spirale autour de l’origine. Celle ci est dite spirale instable, centre ou spirale stable suivant que μ est positif, nul ou négatif comme l’indique la ﬁgure 3.

Figure 3: Point spirale stable

Question 4 Exécuter syslin(A) sous Scilab. Commenter.

A=[-1,1;-1,-1]
syslin(A)

Question 5 Même question avec la matrice de rotation suivante.

A=[0,1;-1,0]
syslin(A)

5 Les valeurs propres sont égales et A est diagonalisable

Les solutions sont de la même forme que (2) mais comme λ₁ et λ₂ sont égales, le rapport z₁(t)∕z₂(t) reste constant égal à z₁(0)∕z₂(0) et les trajectoires sont des droites. On dit que l’origine est un foyer stable ou instable suivant que λ₁ est négative ou positive. La ﬁgure 4 représente un foyer instable.

Figure 4: Foyer instable

Question 6 Exécuter syslin(A) sous Scilab. Commenter.

A=[1,0;0,1]
syslin(A)

6 Les valeurs propres sont égales
et A n’est pas diagonalisable

Il existe une matrice réelle de changement de base P telle que, d’après la réduction de Jordan,

( ) λ1 0 − 1 A = P a λ P . 1

(4)

Si on eﬀectue le changement de coordonnées z = P⁻¹x, le système (1) devient ż = ( )
λ1 0
a λ1 z et les solutions s’écrivent :

( { z1(t) = z1(0 ) eλ1t ( z2(t) = z2(0 ) eλ1t + a t z1(0) eλ1t.

(5)

On dit que l’origine est un nœud dégénéré stable ou instable suivant que λ₁ est négative ou positive. La ﬁgure 5 représente un nœud dégénéré stable.

Figure 5: Nœud dégénéré stable

Question 7 Exécuter syslin(A) sous Scilab. Commenter.

A=[-1,2;0,-1]
syslin(A)

7 L’une des valeurs propres est nulle

La matrice A étant supposée non nulle, on étudie le cas où λ₁ = 0 et λ₂ = λ≠0.

D’un point de vue algébrique, la matrice A admet deux vecteurs propres réels distincts v₁ et v₂. Si P = (v1;v2) est la matrice réelle de changement de base, on a A = PDiag(0,λ)P⁻¹. Si on eﬀectue alors le changement de coordonnées z = P⁻¹x, le système (1) devient ż = Diag(0,λ)z et les solutions s’écrivent :

( { z1(t) = z1(0 ) ( z2(t) = z2(0 ) eλt.

(6)

Ainsi, non seulement l’origine, mais aussi tous les points de la droite d’équation z₂ = 0 sont points d’équilibre (cas dégénéré).

Figure 6: Droite de points d’équilibre

Question 8 Exécuter syslin(A) sous Scilab. Commenter.

A=[-2,4;1,-2]
syslin(A)

8 Perturbations quadratiques

Partant du système linéaire précédent, on ajoute une perturbation quadratique

( ′ ) dx- = Ax + 𝜀 x Q1x + R dt x′Q2x

(7)

où 𝜀 est un réel, Q1, Q2 des matrices carrées symétriques et R est un vecteur de même dimension que x.

Question 9 Reprendre le code syslin pour en faire un code syslinpert.

Stabilité de systèmes dynamiques linéaires plans

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