Problèmes d'évolution
Département IMI, deuxième année de l'ENPC
Virginie Ehrlacher et Frédéric Legoll (resp.).
Le polycopie: partie 1 et partie 2.
Objectifs
Les problèmes d'évolution apparaissent dans de très nombreuses applications: finance (équation de Black-Scholes), analyse d'images (méthode des level-set), mécanique quantique (équation de Schroedinger), mécanique des solides et des fluides (équation de Navier-Stokes, ...), etc.
L'objectif du cours est de présenter des notions fondamentales pour l'analyse et la discrétisation de ces problèmes et de sensibiliser les étudiants aux dangers classiques lors de la discrétisation. On s'intéressera particulièrement à l'équation de la chaleur (prototype d'une équation parabolique) et l'équation des ondes (prototype d'une équation hyperbolique).
La première partie du cours sera consacrée à la théorie spectrale, utile en soi et utile pour l'étude des problèmes d'évolution. La théorie spectrale est un outil qui permet de décomposer les opérateurs (par exemple le laplacien) selon leurs modes fondamentaux. Cette théorie mathématique a de nombreuses applications pour l'ingénieur, parfois spectaculaires (ruine d'un pont par excitation trop importante de certains modes de vibration, cf. l'exemple du pont de Tacoma). Nous verrons dans un premier temps comment décomposer une équation aux dérivées partielles en ses modes propres. On montrera ensuite comment discrétiser le problème, afin d'approcher en pratique (par exemple par une méthode éléments finis) les valeurs et les vecteurs propres de l'opérateur.
La deuxième partie du cours sera consacrée à l'analyse de certains problèmes d'évolution (équation de la chaleur, équation des ondes, équation de Schroedinger, ...). On utilisera pour cela deux approches distinctes, l'approche spectrale et l'approche de Galerkin, dont on montrera les avantages respectifs.
La troisième partie du cours sera consacrée à la discrétisation des problèmes étudiés précédemment. On utilisera pour cela plusieurs approches (différences finies, éléments finis, méthodes spectrales). On discutera les motivations pour choisir l'une ou l'autre de ces approches. On s'intéressera aussi aux écueils classiques: comment choisir le pas de temps vs le pas d'espace, comment traiter le cas où les phénomènes de transport dominent ceux de diffusion, ...
Au moins une séance du cours sera faite sous la forme d'un TP informatique.
Plusieurs séances de cours, sous forme d'exercices, seront consacrées à des applications: compression de signal via décomposition en composantes principales, application à des problèmes multi-échelles (de la description atomistique à la mécanique), ...
Programme
- Théorie spectrale:
- Notion d'opérateur borné, spectre
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Opérateurs compacts, théorème de Rellich
-
Diagonalisation des opérateurs compacts auto-adjoints
-
Application au calcul des valeurs propres du laplacien
-
Discrétisation
- Equations d'évolution:
- Etude par décomposition spectrale
- Etude par approximation de Galerkin
- Propriétés qualitatives (limite en temps long, ...)
-
Discrétisation des problèmes d'évolution:
- Méthodes des différences finies: condition CFL, schémas upwind, ...
- Méthodes spectrales
- Méthodes des éléments finis
Divers
Contrôle des connaissances: DM preparatoire au TP informatique (distribue le 7 avril) et compte-rendu du TP informatique (distribue le 28 avril).
Documents pédagogiques et bibliographie: polycopié et codes informatiques
Planning 2020 du cours:
- Seance 1 (25 fevrier, F. Legoll): Theorie spectrale 1 (operateurs bornes)
- Seance 2 (3 mars, F. Legoll): Theorie spectrale 2 (spectre)
- Seance 3 (10 mars, F. Legoll): Theorie spectrale 3 (operateurs compacts)
- Seance 4 (24 mars, F. Legoll, cours en distanciel): Diagonalisation des operateurs auto-adjoints compacts (les transparents)
- Seance 5 (31 mars, F. Legoll, cours en distanciel): Problemes aux valeurs propres (les transparents)
- Seance 6 (7 avril, V. Ehrlacher, cours en distanciel): Problemes d'evolution: introduction (les transparents)
DM preparatoire au TP informatique du 28 avril 2020
- Séance 7 (21 avril, V. Ehrlacher, cours en distanciel): Problemes d'evolution: equation de la chaleur et methode des elements finis (les transparents)
- Seance 8 (28 avril, F. Legoll, cours en distanciel): TP informatique
- Seance 9 (5 mai, V. Ehrlacher, cours en distanciel): Problemes d'evolution: analyse theorique par approche de Galerkin (les transparents)
- Séance 10 (12 mai, V. Ehrlacher, cours en distanciel): Problemes d'evolution: analyse theorique par approche spectrale
- Séance 11 (19 mai, F. Legoll, cours en distanciel): Seance d'exercices
- Séance 12 (26 mai, V. Ehrlacher, cours en distanciel): Problemes d'evolution: methode des differences finies (les transparents)
- Séance 13 (2 juin, F. Legoll, cours en distanciel): Seance d'exercices
Quelques examens des années passées
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Dernière mise à jour: avril 2020.