Ce travail porte principalement sur l'analyse mathématique de modèles multi-échelles pour la simulation de fluides polymériques. Ces modèles couplent, au niveau microscopique, une description moléculaire de l'évolution des chaînes de polymère (sous forme d'une équation différentielle stochastique) avec, au niveau macroscopique, les équations de conservation de la masse  et de la quantité de mouvement pour le solvant (sous forme d'équations aux dérivées partielles). Le chapitre 1 introduit les modèles et donne les principaux résultats obtenus. Dans les chapitres 2, 4, 5 et 7 on montre en quel sens les équations sont bien posées pour divers modèles de polymère, en considérant soit des écoulements homogènes, soit des écoulements cisaillés plans. Dans les chapitres 2, 3, 6 et 7, on analyse et on prouve la convergence de méthodes numériques pour ces modèles. Enfin, le chapitre 8 concerne le comportement en temps long du système. Une deuxième partie de ce document est constituée de trois chapitres portant sur un travail en magnétohydrodynamique (MHD), en collaboration avec l'industrie. Le chapitre 9 est une introduction à la problématique ainsi qu'aux méthodes numériques utilisées. Le chapitre 10 décrit un nouveau cas-test en MHD. Enfin, le chapitre 11 donne une analyse de la stabilité du schéma numérique utilisé.

Mots clés : équations différentielles stochastiques, équations aux dérivées partielles, système couplé, méthode de Monte Carlo, techniques de réduction de variance, problème multi-échelles, fluide polymérique, magnétohydrodynamique.
 

The most important part of this work deals with the mathematical analysis of multiscale models of polymeric fluids. These models couple,at the microscopic level, a molecular description of the evolution of the polymer chains (in terms of stochastic differential equations) and, at the macroscopic level, the mass conservation and momentum equations for the solvent (which are partial differential equations). In Chapter 1, we introduce the models and give the main results obtained. In Chapters 2, 4, 5 and 7 we make precise the mathematical meaning and the well-posedness of the equations in either homogeneous flows or plane shear flows for some specific models of polymer chains. In Chapters 2, 3, 6 and 7, we analyse and prove convergence of some numerical schemes. Finally, in Chapter 8, we deal with the longtime behaviour of the coupled system. A second part of this document concerns a magnetohydrodynamic (MHD) problem coming from industry. In Chapter 9, we introduce the problem and the numerical methods used. We present a new test-case in MHD in Chapter 10. Finally, we give a stability analysis of the scheme in Chapter 11.

Key words: stochastic differential equations, partial differential equations, coupled system, Monte Carlo method, variance reduction techniques, multiscale problem, polymeric fluid, magnetohydrodynamic.

Mathematical Subject Classification (2000): 35Q35, 60H35, 60K35, 65C05, 65C30, 65C35, 65M12, 76A10, 76M10, 76W05, 82C22, 82C31, 82C80, 82D60.

BibTeX:

@PhdThesis{lelievre-04,
  author =            {Leli\`evre, T.},
  title =                {Probl\`emes math\'ematiques et num\'eriques pos\'es par la simulation d'\'ecoulement de fluides polym\'eriques},
  school =            {Ecole Nationale des Ponts et Chauss\'ees},
  year =                2004
}

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