L'algorithme minimax effectue une exploration complète de l'arbre de recherche jusqu'à un niveau donné, alors qu'une exploration partielle de l'arbre pourrait suffire. Il suffit en effet, dans l'exploration en profondeur d'abord et de gauche à droite, d'éviter d'examiner des sous-arbres qui conduiront à des configurations dont la valeur ne contribuera sûrement pas au calcul du gain à la racine de l'arbre.
Dans les exemples de la figure 2.28 certains nuds ont
une valeur définitive alors que les autres (étiquetés avec un nom de
variable) n'en ont pas encore reçu. D'après la définition de
la fonction minimax() la valeur de la configuration racine de l'arbre
(a) est obtenue par
Il est clair que u=5 indépendamment de la valeur de v. Il en résulte
que l'exploration des branches filles du nud étiqueté par v peut
être omise : on réalise ainsi une coupure superficielle. En
appliquant récursivement le même raisonnement à l'arbre (b), on en
déduit que la valeur de u peut être obtenue sans connaître la valeur
finale de y. De même que précédemment, l'exploration des branches
filles du n
ud étiqueté par y n'est pas nécessaire : on parle
alors de coupure profonde.
Plus généralement, lorsque dans le parcours de l'arbre minimax il y a
modification de la valeur courante d'un nud, si cette valeur
franchit un certain seuil, il devient inutile d'explorer la descendance
encore inexplorée de ce n
ud. On distingue deux seuils, appelés
(pour les n
uds Min) et
(pour les n
uds Max) :
L'algorithme
peut être décrit informellement par la fonction
suivante, qui maintient ces deux seuils pendant le
parcours de l'arbre. Une invocation de alphabeta(s,
,
) détermine une évaluation du jeu issu de la configuration s.
Contrairement aux fonctions p et minimax()
(§ 2.24), le calcul des valeurs de alphabeta() se
fait de façon à la fois ascendante et descendante.
Chaque noeud de l'arbre se trouve affecté de trois attributs : la valeur
m de la configuration et les seuils
et
.
L'attribut
m est synthétisé, c'est-à-dire calculé de façon ascendante à
partir des successeurs s' de s. Par contre, les seuils sont des
attributs hérités , c'est-à-dire calculés
de façon descendante, à partir des parents : par exemple, si s est un
noeud de maximisation avec deux successeurs, soit
,
alors
le seuil
de s2 est la valeur m de s qui a été calculée à
partir de s1. L'information a donc circulé de s1 à s, puis de
s à s2.
La construction d'arbres comportant des attributs et l'évaluation de ces attributs sont des techniques importantes utilisées, non seulement dans les arbres de jeu, mais aussi dans la compilation des programmes.