1 A-t-on autant de chance de naître pour chacun des jours de la semaine?
Un hôpital américain veut savoir si les naissances sont réparties équitablement sur les jours de la
semaine. Il dispose de l’observation des naissances de l’année 1997, (source : NVSR 1999)
Jour
L
M
M
J
V
S
D
Naissances
564772
629408
609596
604812
605280
450840
404456
Table 1: Répartition des naissances suivant les jours de la semaine
Rappel: un peu de théorie
On suppose qu’il s’agit de la réalisation des n variables aléatoires indépendantes et de même loi
X1,…,Xn à valeurs dans {1,…,m}. Ici m = 7 puisque les variables aléatoires prennent leurs valeurs
dans l’ensemble des jours de la semaine. On cherche donc à connaître p = (p1,…,pm) où
pi = ℙ(X1 = i). Plus exactement on désire savoir si la loi p = (p1,…,pm) est égale à une loi
donnée p0 = (p10,…,pm0). Dans l’exemple ci-dessus, on désire savoir si les naissances sont
équidistribuées sur les jours de la semaine, soit p0 = (,…,), la loi uniforme sur {1,…, 7}. On
veut donc savoir si l’hypothèse les naissances sont équidistribuées dite hypothèse nulle,
notée H0 = {p = p0}, est réaliste ou non. On utilise pour cela le test d’adéquation du
χ2.
On définit la statistique
où = (1,…,m) est le vecteur des fréquences empiriques :
Ni étant le nombre d’occurrences de i dans l’échantillon de taille n.
Si H0 est vrai, alors ζn converge en loi vers un χ2 à m − 1 degré de liberté. En particulier ζn
prend les valeurs typiques du χ2 à m − 1 degré de liberté. En revanche si H0 n’est pas vraie i.e.
p≠p0, alors ζn→ +∞ quand n → +∞. Ainsi ζn prend de grandes valeurs. On rejette donc H0 si on
observe des valeurs anormalement grandes pour ζn, par exemple supérieures à un z donné.
Toutefois, comme la loi du χ2 est portée par ℝ+, toutes les valeurs de [0, +∞[ sont possibles. Il
existe donc une probabilité α de rejeter à tort H0 (risque de première espèce). La valeur de α
dépend de z:
La pratique
Utilisation de ce résultat.
On dispose de l’observation de l’échantillon X1 = x1,…,Xn = xn.
On dispose de la loi p0 = (p10,…,pm0) présumée des variables aléatoires
(indépendantes) X1,…,Xn.
On calcule les occurrences Ni de l’entier i à partir des xi.
On calcule la valeur de ζn = zn.
On calcule
αn = ℙ(χ2(m − 1) ≥zn) .
Si αn prend des valeurs faibles, inférieures, à α = 5% typiquement, alors on rejette
l’hypothèse H0 sinon on l’accepte (voir la figure (1))
α représente le niveau de confiance du test.
Ce risque α incontournable dépend du contexte et est fixé par le décisionnaire.
Traditionnellement α = 5%, mais on peut choisir des valeurs bien plus faibles pour des domaines
sensibles.
La mise en oeuvre
On revient au problème initial. On dispose pour cela des nombres des naissances présentés dans le
tableau (1).
// les occurences des naissances N=[564772,629408,609596,604812,605280,450840,404456]; // la loi uniforme sur {1,...,7} p0=ones(1,7)/7;
La fonction test_chi2(N,p0) retourne la p-valeur du test du χ2 d’adéquation de loi: N est le
vecteur ligne des occurrences observées, et p0 est le vecteur ligne des probabilités d’occurrence
sous l’hypothèse nulle. Cliquer sur le lien ci-dessus pour obtenir le code de la fonction, le copier
dans la fenêtre scilab ou le sauvegarder, sous le nom test_chi2.sce, dans le répertoire où vous
utilisez scilab. Dans ce dernier cas, pour charger la fonction, utiliser la commande: getf’test_chi2.sce’.
Pour appliquer la fonction, utiliser la commande:
//execution du test alpha=test_chi2(N,p0)
Question 1les naissances se répartissent-elles équitablement sur les jours de la semaine?
Figure 1: Densité de χ2(6)
2 Test d’un générateur de nombres aléatoires
On veut tester la validité d’un générateur de nombres aléatoires à valeurs dans {0,…,m} et de loi
uniforme. On génère n nombres suivant cette loi. On applique le test du χ2 et on rejette à 5%. On
effectue cette opération K fois et on compte le nombre de rejets. En théorie, on devrait obtenir en
première approximation 0.05 × K rejets puisque on simule suivant une loi uniforme et que l’on
rejette à 5%. On génère un vecteur ligne de n réalisations d’une loi uniforme sur {0,…, 9}, ici
m = 9 :
X=grand(1,n,'uin',0,m)
Ensuite la fonction occurrence retourne N le nombre d’occurrences des chiffres 0,…, 9 dans X
(cliquer sur le lien ci-dessus pour obtenir le code de la fonction et le recopier dans la fenêtre
scilab)
La fonction test_generateur(n,K,m) retourne le nombre de rejets du test d’adéquation du χ2
pour K tests effectués sur des échantillons de n données du générateur de scilab de la loi uniforme
sur {0,…,m}.
On obtient par exemple le résultat suivant :
K
n
Nombre de rejets obtenus
1000
100
53
Question 2Quelle est la loi du nombre de rejets? Donner, pour n et K grands, un intervalleauquel appartient le nombre de rejets avec probabilité de 99% quand le générateur de nombresaléatoires est parfait.
On réalise la même expérience mais avec une loi p1 un peu différente de la loi p0 uniforme sur
{0,…, 9}. Remarquons que la loi des occurrences lors de n simulations suivant la loi p1 est
exactement la loi multinômiale de paramètre (n,p1). Cette dernière loi est directement simulable à
l’aide de
grand.
On choisit une probabilité p1 qui diffère de p0 seulement pour les probabilités d’apparition de 8 et
9.
// loi uniforme sur {0,...,m} p0=ones(1,m+1)/(m+1); p1=p0; // $ designe la derniere coordonnee du vecteur p1($)=0.15; p1($-1)=0.05; // on genere une variable de loi multinomiale de parametre (n,p1) grand(1,'mul',n,p1([1:$-1])')
On simule K fois suivant cette loi p1 et on compte le nombre de rejets. Pour cela on utilise la
fonction suivante: test_generateur_faux(n,K,m,p1), qui retourne le nombre de rejets du test
d’adéquation du χ2 pour K tests effectués sur des échantillons de n données du générateur de
scilab de la loi p1.
On obtient alors le résultat suivant pour une simulation particulière :
K
n
Nombre de rejets obtenus
1000
100
281
Le nombre de rejets est plus important et à juste titre puisqu’on n’a pas simulé selon une loi
uniforme. Cependant on ne rejette pas systématiquement car la loi simulée “ressemble” à une loi
uniforme.
Cette fois-ci on remplace la loi uniforme par une loi binômiale ℬ(9, 1∕2):
p1=binomial(1/2,9);
Question 3Simuler le nombre de rejets pour K = 1000 simulations et n = 100. Queremarquez vous?
Les histogrammes ci-dessous permettent de visualiser la différence entre la loi uniforme sur
{0,…, 9} et la loi binômiale ℬ(9, 1∕2).
Figure 2: Simulation de 1000 variables de loi binômiale ℬ(9, 1∕2) et loi uniforme sur {0,…, 9}
3 Les dés de Weldon
Weldon a réalisé n = 26306 lancers de 12 dés à 6 faces. On note Xi le nombre de faces comportant
un cinq ou un six lors du i-ème lancer. Ces variables aléatoires prennent leurs valeurs dans
{0,…, 12}. Les fréquences empiriques observées sont fj = où Nj est le nombre de lancers où
l’événement “on a observé j faces comportant un 5 ou un 6” se realise : Nj = ∑i=1n1{Xi=j}. Les
résultats sont les suivants : (source : FELLER Tome 1 pp. 148-149 An introduction to probabilitytheory and its applications (1968))
f0
f1
f2
f3
f4
f5
f6
0.007033
0.043678
0.124116
0.208127
0.232418
0.197445
0.116589
f7
f8
f9
f10
f11
f12
0.050597
0.015320
0.003991
0.000532
0.000152
0.000000
Quand les dés ne sont pas biaisés la probabilité d’observer les faces 5 ou 6 dans un lancer est
1∕3. Les Xi suivent donc une loi binômiale p0 = ℬ(12, 1∕3). Le vecteur N représente les
occurrences correspondant aux fréquences empiriques.
Question 5Dans les cas où les dés sont biaisés, avec tous le même biais, estimer laprobabilité d’obtenir un 5 ou un 6 lors d’un lancer. Vérifier en utilisant un test du χ2,dont on justifiera le nombre de degrés de liberté, que les données proviennent bien de laloi binômiale ℬ(12,p), où p est inconnu. (Attention, il faut changer le code de la fonctiontest_chi2(N,p0)).
Question 6 (Facultatif)Le fait que les données proviennent d’une loi binômiale ℬ(12,p)
implique-t-il que les 12 dés ont même biais? Quelle est donc la conclusion à la questionprécédente?
4 Un autre problème de naissance
On désire étudier la répartition des naissances suivant le type du jour de semaine (jours ouvrables
ou week-end) et suivant le mode d’accouchement (naturel ou par césarienne). Les données
proviennent du “National Vital Statistics Report” et concernent les naissances aux USA en
1997.
Naissances
Naturelles
César.
Total
J.O.
2331536
663540
2995076
W.E.
715085
135493
850578
Total
3046621
799033
3845654
Naissances
Naturelles
César.
Total
J.O.
60.6 %
17.3 %
77.9%
W.E.
18.6 %
3.5 %
22.1%
Total
79.2 %
20.8 %
100.0%
N=[2331536 715085 663540 135493];
On note pJ,N la probabilité qu’un bébé naisse un jour ouvrable et sans césarienne, pW,N la
probabilité qu’un bébé naisse un week-end et sans césarienne, pJ,C la probabilité qu’un bébé
naisse un jour ouvrable et par césarienne, pW,C la probabilité qu’un bébé naisse un week-end et
par césarienne.
Question 7Donner l’estimateur des fréquences empiriques de p = (pJ,N,pW,N,pJ,C,pW,C).
Question 8À l’aide d’un test du χ2, pouvez-vous accepter ou rejeter l’hypothèsed’indépendance entre le type du jour de naissance (jour ouvrable ou week-end) et le moded’accouchement (naturel ou césarienne)?
Question 9On désire savoir s’il existe une évolution significative dans la répartition desnaissances par rapport à 1996. À l’aide d’un test du χ2, pouvez-vous accepter ou rejeterl’hypothèse p = p0, où p0correspond aux données de 1996? On donne les valeurs suivantespour p0:
), la loi uniforme sur 
= (
où 
