Question 1Simuler une série chronologique Xt = φ1Xt−1 + φ2Xt−2 + φ3Xt−3 + 𝜀t, oùles variables aléatoires (𝜀t,t ≥ 0) sont indépendantes de loi gaussienne centrée réduite. Onpourra utiliser la fonction ar(X0,X−1,X−2,φ1,φ2,φ3,T) qui simule la série sur l’horizon{0,…,T} défini dans ar.sce.
La commande plot2d(X) permet de tracer le processus X. La commande xbasc() permet de vider
le contenu de la fenêtre graphique.
Le polynôme associé au processus AR(p) de coefficient phi= (φ1,…,φp) est donné par la
commande p=poly([1-phi],"x","coef"). La commande suivante permet de connaître le module
des racines du polynôme p: abs(roots(p)).
Question 2Qu’observez vous si l’une des racines du polynôme p est de module inférieur à1? (On pourra simuler un processus AR(1) avec |φ1| > 1.)
Question 3Effectuer un test de blancheur sur un bruit blanc et sur un processusAR(1). Qu’observez vous? Le justifier. On pourra utiliser la fonction test_blancheur(X)(blanc.sce), où X correspond aux données observées.
Question 4Pour les séries simulées dans la questionprécédente, tracer les autocorrélogrammes et le périodogramme. Commentaires. Les fonctions[rho] = autocorel(X)(autocorel.sce) et [omega, f] = periodogramme(X)(period.sce)calculent respectivement la fonction d’autocorrélation et la densité spectrale.
Question 5Montrer que l’estimation des paramètres d’un processus AR(p) par moindrecarré est équivalent à la résolution des équations de Yule-Walker.
Question 6Simuler un processus AR(p). Estimez les paramètres du processus, ensupposant que ces réalisations proviennent d’un processus AR(k). Qu’observez vous si k < p,si k = p et si k > p? On pourra utiliser la fonction [phi]=ar_fit(X, k)définie dans lefichier ar_fit.sce.
1.2 Tendance et saisonalité
On considère un bruit blanc, (𝜀t,t ≥ 1), auquel on rajoute une tendance linéaire,
(Tt = α0 + α1t,t ≥ 1), et une saisonalité de période 12, (St = βt mod. 12,t ≥ 1), pour obtenir
le processus X = (Xt,t ≥ 1).
La fonction [a, res, s2, V] = reg_lin(X, Y) (reg.sce) renvoie dans a les coefficients de la
régression linéaire de X sur Y, dans res les résidus de la régression, dans s2 la variance des résidus
et dans V la matrice de covariance des coefficients.
Question 7Simuler des données issues d’un tel processus avec une tendance linéaireet un période mensuelle, sur une période de 12 ans. On pourra utiliser la fonctionX = simul_decomp(alpha0, alpha1, beta, T)du fichier simul_decomp.sce.
Question 8Le processus des données corrigées de la tendance est XtCT = Xt−0−1t,avec (0,1) qui minimise∑t=1T(Xt− α0− α1t)2. Tracer XCTet commenter.
T = length(X);
Y = [ ones(T,1), [1:T]'];
[a, res, s2, V] = reg_lin(X, Y);
Question 9Le processus des données corrigées des variations saisonnières est XtCV S =
Xt−t mod. 12, où (i; 1 ≤ i ≤ 12) réalise le minimum de
Donner les intervalles de confiance sur les paramètre (β1,…,β12). Tracer XCV Setcommenter.
T = length(X); n= ceil(T/12);
Y = ones(n,1) .*. eye(12,12); Y=Y(1:T, 1:12);
[a, res, s2, V] = reg_lin(X, Y);
Question 10Estime les paramètres (1,1,…,12) en minisant
On fournira également un intervalle de confiance pour les paramètres estimés.
T = length(X); n= ceil(T/12);
D = [1:T]'; S = ones(n,1) .*. eye(12,12); S=S(1:T, 1:12);
Y = [D, S];
[a, res, s2, V] = reg_lin(X, Y);
2 Données réelles
On dispose du nombre mensuel de passagers sur les vols internationaux de janvier 1949 à décembre
1960: Z = (Zt, 1 ≤ t ≤ T) avec T = 144.
Question 11Tracer les données, Z, avec plot2d. Tracer l’évolution de la moyenne annuelleet de la moyenne annuelle de (log(Zt), 1 ≤ t ≤ T). Tracer le périodogramme pour Z et
log(Z). Que remarquez vous?
X = log(Z);
On pose Xt = log(Zt).
2.1 Analyse de la tendance et des variations saisonnières
Question 12Estimer la tendance et les variations saisonnières de X. Les résidus,forment-ils un bruit blanc?
T = length(X);
Y = [ ones(T,1), [1:T]'];
[a, res, s2, V] = reg_lin(X, Y);
test_blancheur(res,10);
Question 13Tracer les autocorrélogrammes des résidus.
plot2d(autocorel(res));
2.2 Analyse par différentiation à l’aide d’un processus AR
On considère le processus différencié U = (Ut,t ≥ 2) où Ut = Xt− Xt−1 et le processus
W = (Wt,t ≥ 14) avec Wt = Ut− Ut−12.
U = X(2:$) - X(1:$-1);
W = U(13:$) - U(1:$-12);
Question 14Quel est l’intérêt du processus U par rapport à une tendance? Quel est l’intérêtdu processus W par rapport à une variation saisonnière annuelle?
Question 15Tracer les processus X,U et W ainsi que leurs autocorrélogrammessimple et partiel. On pourra réutiliser la fonction plot2d(autocorel(X))pour tracerl’autocorrélogramme simple. La fonction a=autocorel_part(X)(autocorel_part.sce) permetde calculer l’autocorrélogramme partiel.
Question 16Effectuer un test de blancheur sur W. Conclusion.
test_blancheur(W,10);
Question 17Modéliser le processus W par un processus AR(12). Effectuer un test deblancheur sur les résidus. Qu’observez vous sur les coefficients estimés? On pourra utliser lafonction res = residu_ar(W, phi)(ar_residu.sce) pour calculer le vecteur des résidus.
[phi]=ar_fit(W,12);
res = residu_ar(W, phi);
test_blancheur(res,10);
Question 18Modéliser le processus W par Wt = φ1Wt−1 + φ12Wt−12 + 𝜀t. Effectuerun test de blancheur sur les résidus. Conclusion? On pourra utliser la fonction[phi] = sparse_fit(W)(model_W.sce) pour calculer le vecteur ϕ = (ϕ1,ϕ12).
a = zeros(1,12); a(1) = phi(1); a(12) = phi(2);
eps = residu_ar(W, a)
test_blancheur(eps, 10);
2.3 Prédiction
On suppose que l’on observe les données de 1949 à 1959. On veut vérifier le caractère prédictif des
modèles.
Question 19Estimer les paramètres pour les modèles développés dans les deux paragraphesprécédents. En déduire deux jeux de prévisions sur le processus Z pour l’année 1960, et lescomparer avec les données observées.
![T
∑ 2
(Xt − α0 − α1t − βt[12]) .
t=1](serie-chrono10x.png)
