Méthode de monte-carlo pour le pricing d'option
Le modèle de Black et Scholes

LAPEYRE Bernard

8 octobre 2018

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Préliminaires

1. Ecrire une fonction Scilab qui calcule la moyenne empirique Moyenne, la variance empirique Variance empirique d'un tableau de nombre.

   Vérifiez qu'elles coïncident avec les fonctions prédéfinies de Scilab : mean, variance.

   Correction

2. Ecrire une fonction permettant de simuler un vecteur consitué de variables aléatoires gaussiennes centrées réduites indépendantes.

   Tracer l'histogramme du vecteur obtenu et verifier qu'il correspond bien à la loi gaussienne centrée réduite.

   Cette fonction existe dans Scilab (x=rand(1,n,”gauss”)).

   Correction

3. On cherche à calculer par simulation où $G$ est une gaussienne centrée réduite. On rappelle que .

   Calculer par simulation pour $\beta=2,4,6,8,10\ldots$. Précisez à chaque fois une intervalle de confiance. Pour quelles valeurs de $\beta$ peut on utiliser cette méthode de monte-carlo ?

   Correction

Le modèle de Black et Scholes

On considère le modèle de Black et Scholes :

$$S_t = S_0 \exp\left(\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma W_t\right).$$

On supposera dans la suite que $S_0=100$, $\sigma=0.3$ (volatilité annuelle) et $r=0.05$ (taux d'intérêt exponentiel annuel).

1. Tracer l'histogramme de la loi de $S_T$, pour $T=1$, $\sigma=0.3$ (volatilité annuelle) et $r=0.05$ (taux d'intérêt exponentiel annuel).
   Correction
2. On cherche à calculer le prix d'un call de strike $K=100$. Calculer ce prix par une méthode de monte-carlo avec un nombre de tirages égaux à $N=1000$,$1000$,$10000$. On précisera l'intervalle de confiance.
   Correction
3. On va chercher à utiliser la variable aléatoire $S_T$ comme une variable de contrôle. Vérifiez que (pourquoi ?).

   Ecrire un programme qui utilise $S_T$ comme variable de contrôle. Comparer la précision de cette méthode avec la précédente suivant les valeur relative de $K$ et $S_0$.

   Se convaincre que l'on a ainsi ramené le calcul du call à un calcul de put.

   Correction

4. On se place dans la cas d'un call de strike $K$ grand devant $S_0$. Montrer par simulation que la précision relative du calcul décroit au fur et à mesure que $K/S_0$ décroit. On prendra $S_0=100$ et $K=100$, $150$, $200$, $250$. Que se passe t'il pour $K=400$ ?
   Correction

5. Montrer en utilisant le théorème de Girsanov que :
   
   
   
   On se place dans le cas du call avec $S_0=100$ et $K=150$. Proposer une valeur de $\lambda$ permettant de réduire la variance de la simulation.
   Correction