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L’objectif de ce TP en scilab est d’illustrer numériquement les techniques d’accélération de convergence vues en cours. On se place dans le modèle à volatilité stochastique suivant :

(1)

où α,β > 0, Y ₀ = 0, ρ ∈ [−1, 1] et (W¹,W²) est un mouvement brownien de dimension 2.
Pour une option européenne d’échéance T et de payoff f(S_t,t ≤ T) on souhaite calculer 𝔼(e^−rT f(S _t,t ≤ T)). Bien entendu, il est nécessaire pour cela de discrétiser l’équation différentielle stochastique (1) : on note N ∈ ℕ^∗ le nombre de pas de temps, Δt = T∕N le pas de discrétisation et pour k ∈{0,…,N}, t_k = kΔt le k-ème instant de discrétisation.
Nous allons successivement étudier

• dans le cas d’un Call vanille (f(s_t,t ≤ T) = (s_T −K)⁺) les techniques de réduction de variance qui à N fixé permettent de réduire le nombre de trajectoires indépendantes nécessaires pour obtenir une erreur statistique donnée.
• dans le cas d’un Call barrière Up and Out (f(s_t,t ≤ T) = 1_{{max [0,T]st<b}}(s_T −K)⁺) les techniques de pont brownien qui permettent d’accélerer la décroissance du biais avec N.

1 Réduction de variance

On note X_t = e^−rtS _t le sous-jacent actualisé.

1. Calculer dX_t puis écrire le payoff actualisé du Call vanille à l’aide de X_T .
2. Quelle est la loi du couple (Y _tk+1 − e^−αΔtY _tk,W_tk+1¹ − W _tk¹)? Et celle du vecteur (Y _tk+1 − e^−αΔtY _tk,ρ(W_tk+1¹ − W _tk¹) + (W _tk+1² − W _tk²))?
3. Quel est l’intérêt du schéma de discrétisation suivant

   (2)

   où (g_k¹,g _k²) _k≥1 est une suite de couples i.i.d. avec g₁¹ et g ₁² gaussiennes centrées réduites indépendantes? C’est ce schéma que nous allons utiliser dans la suite.

1.1 Conditionnement

On se place dans le cas ρ = 0 où le mouvement brownien qui dirige le processus Y et le mouvement brownien qui dirige le processus X sont indépendants.

1. Comment le schéma se simplifie-t-il? Implémentez-le sous forme vectorielle dans le programme VScondit_Q.sce en prenant garde à mettre à jour X avant de mettre à jour Y .
2. Que vaut Z = 𝔼((X_T − Ke^−rT )⁺|Y _t,t ≤ T)? Comment comparer V ar(Z) et V ar((X_T − Ke^−rT )⁺)?
3. Stockez dans la variable somcarsig la somme des carrés des volatilités utilisées sur chaque pas de temps. Que représente ?
4. Exécuter le programme (exec VScondit_Q.sce). Quelle réduction de variance obtient-on par conditionnement? Comment évolue le facteur de réduction avec le niveau moyen de la volatilité σ₀? Et avec le niveau β du bruit de la volatilité? Est-ce intuitif?

1.2 Variable de contrôle construite avec le modèle de Black-Scholes

On ne suppose plus ρ = 0 et on va utiliser (S₀e^{σ₀(ρW_T1+W_T2)−} −Ke^−rT )⁺ comme variable de contrôle pour le calcul du prix du Call.

1. Implémentez le schéma général dans le programme VSvarcontBS_Q.sce. Implémentez également l’évolution du processus de Black-Scholes actualisé pour la volatilité σ₀ avec les mêmes accroissements browniens que ceux qui dirigent X.
2. Stockez dans le vecteur paycont les payoffs correspondant au sous-jacent actualisé moins ceux correspondant au processus de Black-Scholes actualisé. Exécutez le programme (exec VSvarcontBS_Q.sce).

1.3 Régression sur le sous-jacent actualisé

1. Que vaut 𝔼(X_T ^N)? Pour quelle valeur γ^∗ de γ la variance de (X _T ^N−Ke^−rT )⁺−γX _T ^N est-elle minimale? Estimez γ^∗ dans la variable coef du programme VSvarcontS_Q.sce puis exécutez ce programme.
2. L’évolution du facteur de réduction de variance avec le strike K est-elle conforme à l’intuition?

2 Réduction du biais pour les options barrières

On s’intéresse au Call Up and Out de payoff 1_{{max [0,T]St<b}}(S_T − K)⁺.

1. Déduire de (2) un schéma (S_tk^N,Y _tk^N) _0≤k≤N permettant de simuler le sous-jacent S.
2. Que vaut ℙ?
3. Implémentez le schéma et mettez à jour la probabilité conditionnelle pour que le schéma en temps continu n’ait pas franchi la barrière dans le programme VSbarriere_Q.sce. Exécuter ce programme avec β = 0 pour comparer avec la formule explicite qui donne le prix de l’option barrière dans le modèle de Black-Scholes avec volatilité σ₀. Reprendre avec β = 0.1.

2.1 Options asiatiques

Exécuter le fichier suivant BSasiat.sce

2.2 Réponses

• VScondit.sce
• VSvarcontBS.sce.
• VSvarcontS.sce
• VSbarriere.sce.