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L’objectif de ce TP en scilab est d’illustrer numériquement dans le cadre du modèle de Black-Scholes les résultats du cours sur les schémas d’Euler et de Milshtein. On note T l’horizon de la simulation, Δt = T∕N (où N ∈ ℕ^∗) le pas de discrétisation et pour k ∈{0,…,N}, t _k = kΔt le k-ème instant de discrétisation.

1 Convergence forte

L’intérêt de se placer dans le modèle de Black-Scholes

est la possibilité de simuler exactement le sous-jacent en utilisant les mêmes accroissements browniens que ceux qui servent à générer les processus discrétisés.

1. Exprimer en fonction de la valeur en t_k du sous-jacent S_tk (resp. du schéma d’Euler S_tk^e, resp. du schéma de Milshtein S _tk^m) et de l’accroissement ΔW _k+1 = W_tk+1 −W_tk la valeur en t_k+1 du sous-jacent S_tk+1 (resp. du schéma d’Euler S_tk+1^e, resp. du schéma de Milshtein S_tk+1^m).
2. Implémenter ces formules dans les zones à compléter du programme vitfort_Q.sce.
3. Quel est le comportement théorique de 𝔼((S_T −S_T ^e)²) en fonction de N ? Et celui de 𝔼((S_T − S_T ^m)²)?
4. Exécuter le programme (exec vitfort_Q.sce) pour constater la dépendance en N de 𝔼((S_T − S_T ^e)²) et 𝔼((S _T − S_T ^m)²).

2 Convergence faible

2.1 Vitesse faible

On souhaite maintenant étudier la vitesse faible des schémas d’Euler et de Milshtein pour le calcul d’un Put européen d’échéance T dans le modèle de Black-Scholes, c’est-à-dire la dépendance en N des quantités 𝔼(e^−rT (K − S _T ^e)⁺) − 𝔼(e^−rT (K − S _T )⁺) et 𝔼(e^−rT (K − S _T ^m)⁺) − 𝔼(e^−rT (K − S _T )⁺). Pour cela, on va évaluer ces quantités d’une part en calculant 𝔼(e^−rT (K − S _T )⁺) par la formule de Black-Scholes et d’autre part en approchant cette espérance par un calcul Monte-Carlo utilisant les mêmes accroissements browniens que ceux qui servent à calculer 𝔼(e^−rT (K − S _T ^e)⁺) et 𝔼(e^−rT (K − S _T ^m)⁺). La deuxième approche entre dans le cadre des techniques de variables de contrôle pour réduire la variance.

1. Compléter le programme vitfaible_Q.sce.
2. Quel est le comportement théorique de 𝔼(e^−rT (K − S _T ^e)⁺) − 𝔼(e^−rT (K − S _T )⁺) en fonction de N ?
3. Exécuter le programme (exec vitfaible_Q.sce) pour constater la vitesse faible effective des schémas d’Euler et de Milshtein. La technique de variable de contrôle est-elle efficace?

2.2 Extrapolation de Romberg

On souhaite maintenant étudier l’accélération de la convergence faible par la méthode d’extrapolation de Romberg. On note respectivement S^e,N et S^e,2N (resp. S^m,N et S^m,2N) les schémas d’Euler (resp. Milshtein) pour N resp. 2N pas de temps. On va évaluer

et la quantité analogue pour le schéma de Milshtein en utilisant les même accroissements browniens pour chacun des termes dans l’espérance afin de réduire la variance.

1. Pour k ∈ {0,…,N − 1} exprimer S (resp. S^e,N, S^e,2N, S^m,N, S^m,2N) en fonction de S (resp. S^e,N, S^e,2N, S^m,N, S^m,2N) et des accroissements W − W et W − W.
2. Implémenter ces formules dans le programme romberg_Q.sce puis l’exécuter (exec romberg_Q.sce). Que constatez-vous?
3. Exécuter le programme vectromberg.sce optimisé pour effectuer rapidement un grand nombre de simulations indépendantes.

3 Modèle à volatilité stochastique

On s’intéresse au modèle à volatilité stochastique

(1)

où α,β > 0, Y ₀ = 0, ρ ∈ [−1, 1], f : ℝ → ℝ₊ est une fonction régulière et (W¹,W²) est un mouvement brownien de dimension 2.

1. Montrer que l’on ne peut implémenter le schéma de Milshtein que si ρ² = 1 ou bien f est constante.
2. Dans le cas où f(y) = σ₀ + y, approcher numériquement 𝔼(e^−rT (K − S _T )⁺).
3. Quelle est la loi du couple (Y _tk+1 − e^−αΔtY _tk,W_tk+1¹ − W _tk¹)? En déduire comment améliorer la discrétisation du modèle.

3.1 Réponses

• vitfort.sce
• vitfaible.sce
• romberg.sce
• vectromberg.sce