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Préliminaires

1. Ecrire une fonction Scilab qui calcule la moyenne empirique (moyenne, la variance empirique Variance empirique d’un tableau de nombre.

   Vérifiez qu’elles coïncident avec les fonctions prédéfinies de Scilab : mean, variance.

   Correction

2. Ecrire une fonction permettant de simuler un vecteur consituer de variables aléatoires gaussiennes centrées réduites indépendantes.

   Tracer l’histogramme du vecteur obtenu et verifier qu’il correspond bien à la loi gaussienne centrée réduite.

   Cette fonction existe dans Scilab (x=rand(1,n,’’gauss’’)).

   Correction

3. On cherche à calculer par simulation 𝔼(e^βG) où G est une gaussienne centrée réduite. On rappelle que 𝔼(e^βG) = exp(β²∕2).

   Calculer par simulation 𝔼(e^βG) pour β = 2, 4, 6, 8, 10…. Précisez à chaque fois une intervalle de confiance. Pour quelles valeurs de β peut on utiliser une méthode de Monte-Carlo ?

   Correction

Le modèle de Black et Scholes On considère le modèle de Black et Scholes :

On supposera dans la suite que S₀ = 100, σ = 0.3 (volatilité annuelle) et r = 0.05 (taux d’intérêt exponentiel annuel).

1. Tracer l’histogramme de la loi de S_T , pour T = 1, σ = 0.3 (volatilité annuelle) et r = 0.05 (taux d’intérêt exponentiel annuel).

   Correction

2. On cherche à calculer le prix d’un call de strike K = 100. Calculer ce prix par une méthode de Monte-Carlo avec un nombre de tirages égaux à N = 1000,1000,10000. On précisera l’intervalle de confiance.

   Correction

3. On va chercher à utiliser la variable aléatoire S_T comme une variable de contrôle. Vérifiez que 𝔼(S_T ) = e^rt (pourquoi ?).

   Ecrire un programme qui utilise S_T comme variable de contrôle. Comparer la précision de cette méthode avec la précédente suivant les valeur relative de K et S₀.

   Se convaincre que l’on a ainsi ramené le calcul du call à un calcul de put.

   Correction

4. On se place dans la cas d’un call de strike K grand devant S₀. Montrer par simulation que la précision relative du calcul au fur et à mesure que K∕S₀ décroit. On prendra S₀ = 100 et K = 100, 150, 200, 250. Que se passe t’il pour K = 400 ?

   Correction

5. Montrer en utilisant le théorème de Girsanov que :

   On se place dans le cas du call avec S₀ = 100 et K = 150. Proposer une valeur de λ permettant de réduire la variance de la simulation.

   Correction

Partie 2 : Modèle de Panier On s’intéresse à un modèle de panier constitué à partir de d actifs. On suppose que chacun de ces d actifs de prix S_tⁱ suit un modèle de black et Scholes guidé par un mouvement W_tⁱ :

On prendra dans les applications numériques x_i = 100 et d = 10.

Pour déterminer complètement le modèle on doit spécifier les corrélation entre les mouvements browniens. Pour cela on suppose que :

ρ étant une constante donnée que l’on prendra égale à 0.5 dans les simulations.

1. Calculer la matrice de corrélation du vecteur (W_T ¹,…,W _T ^d). Montrer (à l’aide de MatLab) qu’elle est définie positive.
2. Proposer une méthode de simulation pour le vecteur (W_T ¹,…,W _T ^d) et (S _T ¹,…,S _T ^d).
3. On s’intéresse maintenant au calcul du prix d’un call sur un indice de prix I_t donnée par

   On prendra dans les applications numériques a₁ = = a_d = 1∕d. Calculer par simulation la valeur du call de payoff à l’instant T

   

   et estimer l’erreur commise dans le cas où K = I₀.

4. Montrer une relation d’arbitrage call-put et montrer que l’on peut l’utiliser pour mettre en oeuvre une technique de réduction de variance.
5. En utilisant le théorème de Girsanov pour les d mouvement brownien proposer une technique de réduction de variance dans le cas où I₀ est petit devant K.
6. En supposant que r et σ tendent vers 0 monter que l’on peut approximer log(I_t∕I₀) par :

   En déduire une variable de contrôle pour le calcul du prix du call. Évaluer par simulation le gain de la méthode.