Equilibrio y Estabilidad en el Manejo de un Recurso Renovable

Michel De Lara and Luc Doyen
Traducido por Beatriz Salguero y Paula Andrea González (UAO, Cali, Colombia)
(last modiﬁcation date: March 7, 2018)

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1 El modelo Beverton-Holt
2 El modelo logístico
3 El modelo de Ricker

Sea t el tiempo medido en unidades discretas (tales como años). Sea B(t) la biomasa de una población en el tiempo t (en el intervalo [t,t + 1)). Se considera el modelo de Schaefer

B (t + 1) = Biol(B(t)) − h(t), 0 ≤ h(t) ≤ Biol(B (t))

(1)

donde Biol es la dinámica de la población y h(t) es la cosecha o recolección de la especie considerada. Note que, en el intervalo de tiempo [t,t + 1), primero se dá el crecimiento de la población existente y luego la cosecha¹ .

El rendimiento sostenible h_e = Sust(B_e) resuelve B_e = Biol(B_e) − h_e, del cual se obtiene:

Sust (B ) := Biol(B ) − B.

(2)

La capacidad de carga es el nivel K > 0 de biomasa positiva tal que Biol(K) = K, es decir Sust(K) = 0.

El máximo rendimiento sostenible h_mse y el correspondiente máximo equilibrio sostenible B_mse están dados por

hmse := sup[Biol(B ) − B] y Bmse := argmax [Biol(B ) − B ]. B≥0 B≥0

(3)

De [1, p. 258] y a partir de simulaciones numéricas, se considera como ejemplo el Atún Aleta Amarilla del Pacíﬁco con los valores de los parámetros dados en la Tabla 1.


	Atún Aleta Amarilla del Pacíﬁco


Crecimiento intrínseco anual	R = 2.25
Capacidad de carga	K = 250 000 toneladas métricas
capturabilidad	q = 0.0000385 por DEP
Precio	p = $ 600 por tonelada métrica
Costo	c = $ 2500 por DEP

Table 1: Datos Atún Aleta Amarilla del Pacíﬁco para un modelo logístico en tiempo discreto (adaptado de [1, p. 258]). DEP: día estándar de pesca.

1 El modelo Beverton-Holt

El modelo Beverton-Holt está dado por la ecuación en tiempo discreto

--RB--- Biol(B ) = 1 + bB .

(4)

donde

-- -- (√ R − 1)2 √ R − 1 R − 1 hmse = ----------, Bmse = -------- y K = ------. b b b

(5)

Pregunta 1 Usando los datos de la Tabla 1 calcule b en (4), dada la máxima biomasa sostenible B_mse y el rendimiento máximo sostenible h_mse como en (5).

   R_tuna = 2.25 ;
    K_tuna = 250000 ; // toneladas metricas

    // DINAMICA  BEVERTON-HOLT
    R_BH = R_tuna ;
    b_BH = (R_BH-1) / K_tuna ;

    function [y]=Beverton(B)
    y=(R_BH*B)./(1 + b_BH*B) ;
    y=maxi(0,y) ;
    endfunction;

    // RENDIMIENTO SOSTENIBLE
    function [SY]=sust_yield(dynamic,B), SY=dynamic(B)-B, endfunction;


    // EQUILIBRIO MAXIM0 SOSTENIBLE
    B_MSE = (sqrt(R_BH) - 1)/b_BH ;
    // rendimiento maximo sostenible
    h_MSE = sust_yield(Beverton,B_MSE) ;
    // rendimiento maximo sostenible

Pregunta 2 Seleccione un nivel de biomasa B_e entre la máxima biomasa sostenible B_mse y la capacidad de carga K. Calcule el rendimiento sostenible correspondiente h_e.

Dibuje la trayectoria estacionaria correspondiente al modelo de Schaefer (1) con la dinámica de Beverton-Holt (4) y h(t) = h_e. Dadas dos condiciones iniciales diferentes en la vecindad del equilibrio de la biomasa B_e, dibuje las trayectorias correspondientes. Determine si la gráﬁca conﬁrma o no que el equilibirio de la biomasa B_e es un atractor.

Recuerde que para un equilibrio, los conceptos de ser estable o ser atractor no están relacionados.

Pregunta 3 La gráﬁca conﬁrma o no el hecho de que el equilibrio de la biomasa B_e es estable? Justiﬁque claramente su respuesta. Qué se puede decir acerca de la estabilidad asintótica del equilibrio de la biomasa B_e?

    // EQUILIBRIO SOSTENIBLE

    alpha=rand();
    Be= alpha*B_MSE + (1-alpha)*K_tuna ;
    // seleccione uno de los posibles equilibrios
    he=sust_yield(Beverton,Be) ;
    //rendimiento sostenible correspondiente


    function [y]=sequential(y0,time,f)
    [one,two]=size(Binit) ;
    y=zeros(one,prod(size(time))) ; // time es un vector t0, t0+1,...,T
    // vector que contiene las trayectorias y(1),...,y(T-t0+1)
    // para diferentes condiciones iniciales
    for k=1:one
    y(k,1)=y0(k);
    // inicializacion
    for s=time(1:($-1)) -time(1)+1
    //ejecute desde 1 to T-t0+1
    y(k,s+1)=f(s,y(k,s));
    end ;
    end ;
    endfunction


    // TRAYECTORIAS DE ESTADO  BAJO LA DINAMICA

    function [y]=Beverton_e(t,B)
    y=Beverton(B) - he ;
    y=maxi(0,y) ;
    endfunction
    // dinamica Beverton-Holt  con recoleccion en el equilibrio (Be,he)

    T=20;
    years =1:(T+1);

    xset("window",31); xbasc(31);
    Binit=Be;
    Bt=sequential(Binit,years,Beverton_e);
    plot2d2(years',Bt',1);
    //
    Binit=0.9*Be ;
    Bt=sequential(Binit,years,Beverton_e);
    plot2d2(years',Bt',2);
    //
    Binit=1.1*Be;
    // Parece que hay un error con la versión anterior de 'sequential'
    Bt=sequential(Binit,years,Beverton_e);
    plot2d2(years',Bt',3);
    //
    xtitle('Trayectorias con la dinámica Beverton-Holt (R=' +string(R_tuna)...
    +' and K=' +string(K_tuna) +')', 'años (t)','B(t)')
    legends(['biomasa en equilibrio'],[1],'ur')

Figure 1: Trayectorias de biomasa del Atún Aleta Amarilla del Pacíﬁco con la dinámica Beverton-Holt

Pregunta 4 Encuentre un estado de equilibrio B_e que no sea un atractor. Muestre que B_e no es atractor con algunas trayectorias. Qué se puede decir acerca de la estabilidad asintótica de la biomasa en equilibrio B_e?

Con precio p, y coeﬁciente de captura q y costos unitarios de recolección c, el equilibrio de propiedad privada (ppe) es la solución de equilibrio (B_ppe,h_ppe) = (B_ppe,Sust(B_ppe)) la cual maximiza la renta como sigue:

ch max [ph − ---]. B≥0,h=Sust(B ) qB

(6)

El equilibrio de propiedad común B_cpe hace que la renta sea nula y está dada por

c Bcpe = --. pq

(7)

Pregunta 5 Analice la estabilidad alrededor de los siguientes equilibrios:

equilibrio de propiedad común B_cpe,
equilibrio de propiedad privada
$∘ -------cb- R (1 + --) − 1 B = ---------pq-----. ppe b$ (8)

Compare sus observaciones con los resultados teóricos.

  // Parametros economicos
    c_tuna=2500; // Costo unitario de esfuerzo
    p_tuna=600; // Precio en el mercado
    q_tuna=0.0000385; // capturabilidad

    c=c_tuna;
    p=p_tuna;
    q=q_tuna;

    B_PPE= ( sqrt( R_BH * (1 + (b_BH*c/(p*q)) ) ) - 1 ) / b_BH;
   // equilibrio de propiedad privada


    B_CPE=c/(p*q) ;
    // equilibrio de propiedad comun

2 El modelo logístico

El modelo logístico es caracterizado por la ecuación en tiempo discreto

B Biol(B ) = RB (1 − --) κ

(9)

donde R ≥ 1 y r = R − 1 ≥ 0 es la tasa per-capita de crecimiento (para pequeñas poblaciones), y κ está relacionado con la capacidad de carga K (La cual resuelve Biol(K) = K) como:

Biol(K ) = K ⇐ ⇒ RK (1 − K-) = K ⇐⇒ κ = --R---K ⇐ ⇒ K = R-−-1κ. κ R − 1 R

(10)

Se tiene

(R--−-1)2 R--−-1 R-−-1- K-- hmse = 4R κ = 4 K y Bmse = 2R κ = 2 .

(11)

Pregunta 6 Adapte el anterior código Scilab al modelo logístico, y compare los resultados.

3 El modelo de Ricker

El modelo de Ricker está caracterizado por la ecuación en tiempo discreto

B-- Biol(B ) = B exp (r(1 − K )).

(12)

Pregunta 7

Adapte el anterior código Scilab al modelo de Ricker , y compare los resultados. Intente procedimientos numéricos: escribiendo help fsolve para obtener información acerca del solver Scilab.

References

[1] M. Kot. Elements of Mathematical Ecology. Cambridge University Press, Cambridge, 2001.

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1 El modelo Beverton-Holt

2 El modelo logístico

3 El modelo de Ricker

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