Modelo reacción química en cadena

Stéphane Binois
Tradución: Oswaldo Rodriguez (UAO, Cali Colombia)
(last modiﬁcation date: March 7, 2018)

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1 Reacción en cadena
2 Análisis de estabilidad del sistema

1 Reacción en cadena
1.1 Ecuaciones de cinética química
1.2 Simulación de la reacción bajo Scilab
2 Análisis de estabilidad del sistema

1 Reacción en cadena

1.1 Ecuaciones de cinética química

El objetivo de este TP es observar la evolución de las concentraciones de reactivos y los productos de una reacción en cadena.

Si consideremos las reacciones (de orden 1) A → B → C de las constantes k₁ y k₂.

Entonces, podemos escribir las diferentes ecuaciones cinéticas:

( |{ [A˙] = − k1[A ] ˙ | [B ] = k1[A] − k2[B ] ( [C˙] = k2[B]

(1)

Cuya solución analítica esta dada por:

( { [A ](t) = A0e− k1t [B ](t) = kk1A−0k-e−k1t + (k2B0 − k1(B0 + A0))e−k2t ( [C ](t) = A2 −1[A](t) − [B ](t) 0

(2)

1.2 Simulación de la reacción bajo Scilab

Pregunta 1 Al escribir las funciones en un archivo apropiado y los comandos en otro archivo, se hace la simulación de la evolución de las concentraciones de las tres especies químicas a partir de las expresiones teóricas de estas concentraciones (sistema 2). Podemos tomar A₀ = 1, B₀ = C₀ = 0, k₁ = 10 y k₂ = 1. (Un buen tiempo de simulación es entonces tf=6).

Pregunta 2 Implementar el sistema dinámico (sistema 1).

  //funcion que define el sistema de EDO
  function xdot=chaine(t,x)
      xdot(1)=-k1*x(1);
      xdot(2)=k1*x(1)-k2*x(2);
      xdot(3)=k2*x(2);
  endfunction

  //funcion de la solucion exacta del sistema de EDO
  function a=aexact(t)
      a=a0*exp(-k1*t);
    endfunction
    function b=bexact(t)
      b=1/(k2-k1)*(k1*a0*exp(-k1*t)+(k2*b0-k1*(a0+b0))*exp(-k2*t));
    endfunction
    function c=cexact(t)
      c=a0-aexact(t)-bexact(t);
  endfunction

  //Parametros
    a0=1;
    b0=0;
    k1=1;
    k2=10;
    pas=0.1;
    tf=6;
    X0=[a0;b0;0];
    t=0:pas:tf;

    //Solucion exacta
    A=aexact(t);
    B=bexact(t);
    C=cexact(t);
    xset("window",0)
    xbasc()
    leg='A@B@C';
    plot2d([t',t',t'],[A',B',C'],[7,9,3],'121',leg);
    xtitle('Concentración teórica de las especies A B y C','t')

    //Solucion numerica del sistema EDO
    X=ode(X0,0,t,chaine);
    xset("window",1)
    xbasc()
    leg='A@B@C';
    plot2d([t',t',t'],[X(1,:)',X(2,:)',X(3,:)'],[7,9,3],'121',leg);
    xtitle('Concentración calculada por ODE de las especies A B y C','t')


    //comparacion de soluciones
    xset("window",2)
    xbasc()
    leg='A@B@C';
    plot2d([t',t',t'],[X(1,:)'-A',X(2,:)'-B',X(3,:)'-C'],[7,9,3],'121',leg);
    xtitle('Diferencias entre las concentraciones calculadas por ODE y las concentraciones teóricas', 't')

Pregunta 3 Las gráﬁcas de la evolución de las concentraciones de acuerdo con los dos sistemas anteriores se muestran a continuación. También se hace el gráﬁco de las diferencias entre los resultados de los dos sistemas.

Figure 1: Concentración teórica de las especies

Figure 2: Concentración calculada con ODE de las especies

Figure 3: Diferencias

Pregunta 4 Reanude la simulación variando las concentraciones iniciales así como las constantes de reacción.

Pregunta 5 Encuentre de nuevo las gráﬁcas de la simulación con la variación de los parámetros y cómparelas con las gráﬁcas anteriores. Qué se puede concluir?

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