Le modèle de Black et Scholes

Bernard LAPEYRE

28 mars 2018

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Préliminaires

1. Ecrire une fonction Scilab qui calcule la moyenne empirique Moyenne, la variance empirique Variance empirique d'un tableau de nombre.

   Vérifiez qu'elles coïncident avec les fonctions prédéfinies de Scilab : mean, variance.

   Correction

2. Ecrire une fonction permettant de simuler un vecteur consitué de variables aléatoires gaussiennes centrées réduites indépendantes.

   Tracer l'histogramme du vecteur obtenu et verifier qu'il correspond bien à la loi gaussienne centrée réduite.

   Cette fonction existe dans Scilab (x=rand(1,n,''gauss'')).

   Correction

3. On cherche à calculer par simulation $\E(e^{\beta G})$ où $G$ est une gaussienne centrée réduite. On rappelle que $\E(e^{\beta G})=\exp(\beta^2/2)$.

   Calculer par simulation $\E(e^{\beta G})$ pour $\beta=2,4,6,8,10\ldots$. Précisez à chaque fois une intervalle de confiance. Pour quelles valeurs de $\beta$ peut on utiliser cette méthode de monte-carlo ?

   Correction

Le modèle de Black et Scholes

On considère le modèle de Black et Scholes :

$$S_t = S_0 \exp\left(\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma W_t\right).$$

On supposera dans la suite que $S_0=100$, $\sigma=0.3$ (volatilité annuelle) et $r=0.05$ (taux d'intérêt exponentiel annuel).

1. Tracer l'histogramme de la loi de $S_T$, pour $T=1$, $\sigma=0.3$ (volatilité annuelle) et $r=0.05$ (taux d'intérêt exponentiel annuel).
   Correction
2. On cherche à calculer le prix d'un call de strike $K=100$. Calculer ce prix par une méthode de monte-carlo avec un nombre de tirages égaux à $N=1000$,$1000$,$10000$. On précisera l'intervalle de confiance.
   Correction
3. On va chercher à utiliser la variable aléatoire $S_T$ comme une variable de contrôle. Vérifiez que $\E(S_T)=S_0 e^{rT}$ (pourquoi ?).

   Ecrire un programme qui utilise $S_T$ comme variable de contrôle. Comparer la précision de cette méthode avec la précédente suivant les valeur relative de $K$ et $S_0$.

   Se convaincre que l'on a ainsi ramené le calcul du call à un calcul de put.

   Correction

4. On se place dans la cas d'un call de strike $K$ grand devant $S_0$. Montrer par simulation que la précision relative du calcul décroit au fur et à mesure que $K/S_0$ décroit. On prendra $S_0=100$ et $K=100$, $150$, $200$, $250$. Que se passe t'il pour $K=400$ ?
   Correction

5. Montrer que :
   
   $$\E\left(f(W_T)\right) = \E\left(e^{-\lambda W_T -\frac{\lambda^2 T}{2}}f(W_T+\lambda T)\right).$$
   
   
   On se place dans le cas du call avec $S_0=100$ et $K=150$. Proposer une valeur de $\lambda$ permettant de réduire la variance de la simulation.
   Correction

Modèle de Panier et variables de contrôle

On s'intéresse à un modèle de panier constitué à l'aide de $d$ actifs. On suppose que chacun de ces $d$ actifs de prix $S^i_t$ suit un modèle de Black et Scholes multidimensionnel. Pour cela on considère $d$ mouvement brownien indépendants $(W^i_t,t\geq 0)$, une matrice $d\times d$, $\Sigma=(\sigma_{ij})_{1\leq i,j \leq d}$ et l'on suppose que que le prix de l'actif $i$ à l'instant $t$, $S^i_t$ est donné par :

$$\frac{d S^i_t}{S^i_t} = r dt + \left[\Sigma dW_t\right]_i, S^i_0=x_i.$$

qui peut se résoudre en :

$$S^i_t = x_i e^{\displaystyle (r - \frac {\sigma_i^2}{2})t + \sigma_i {\bar W}^i_t },$$

où $\sigma_i^2 = \sum_{j=1}^d \sigma_{ij}^2$ et ${\bar W}^i_t= \frac{1}{\sigma_i}\sum_{j=1}^d \sigma_{ij} W^j_t$.

On prendra dans les applications numériques $x_i=100$ et $d=10$.

Par ailleurs, on souhaite choisir la matrice $\Sigma$ de façon à :

(a)

pouvoir donner une valeur arbitraire aux $(\sigma_{i},1\leq i \leq d)$

(b)

avoir $\E\left(\bar W^i_t \bar W^j_t\right) = \rho_{ij} t$

$\rho_{ij}$ étant une matrice constante donnée telle que $\rho_{ii}=1$ (pourquoi?).

1. Montrer que si un modèle vérifiant (b) existe la matrice $\rho$ est forcément symétrique et positive. Sous cette hypothèse, montrer l'existence d'une matrice $\Sigma$ permettant de réaliser (a) et (b).
2. On prendra dans la suite $\rho_{ij}=0.5$ pour tout $i$ et $j$ différent et $\sigma_{i}=0.3$ (par année), pour tout $i$. Vérifier (à l'aide de SciLab) que $\rho$ est bien une matrice définie positive (mais que ce n'est pas le cas si $d=10$ et $\rho_{ij}=-0,95$).
   Correction
3. Proposer une méthode de simulation du vecteur $(W^1_T,\ldots,W^d_T)$ puis de $(S^1_T,\ldots,S^d_T)$.
   Correction
4. On s'intéresse maintenant au calcul du prix d'un call sur un indice de prix $I_t$ donné par
   
   $$I_t = a_1 S^1_t + \cdots + a_d S^d_t.$$
   
   
   On prendra dans les applications numériques $a_1=\cdots=a_d=1/d$. Calculer par simulation la valeur du call de payoff à l'instant $T$
   
   $$\left(I_T-K\right)_+,$$
   
   
   et estimer l'erreur commise pour différentes valeurs de $K$ ($K=0.8 I_0$, $K= I_0$, $K=1.2 I_0$, $K=1.5 I_0$ par exemple).

   Reprendre les simulations pour un put sur indice de payoff $(K-S_T)_+$.

   Correction
5. Montrez que $\E(I_T) = I_0 \exp(rT)$ et utilisez $I_T$ comme variable de contrôle. Quand cette méthode est elle efficace ?
   Correction
6. En supposant que $r$ et $\sigma$ tendent vers $0$ se convaincre qu'il est légitime d'approximer $\log(I_t/I_0)$ par :
   
   $$Z_T = \frac{a_1 S^1_0}{I_0} \log(S^1_t/S^1_0) + \cdots + \frac{a_d S^d_0}{I_0} \log(S^d_t/S^d_0).$$
   
   
   Montrer que $Z_T$ est une gaussienne de moyenne
   
   $$T \sum_{i=1}^d \frac{a_i S^i_0}{I_0} \left(r-\sigma_i^2/2\right)$$
   
   
   et de variance
   
   $$T \frac{1}{I_0^2} \sum_{i=1}^d \sum_{j=1}^d J_i \rho_{ij} J_j$$
   
   
   où $J_{i}= a_i S^i_0 \sigma_i$.

   On rappelle que (exercice) :
   

   $$\E\left(\left(e^Z - K\right)_+\right) = e^{\E(Z)+\frac{1}{2}\Var(Z)}N(d + \sqrt{\Var(Z)}) - KN(d)$$
   
   
   où $d=\frac{\E(Z)-\log(K)}{\sqrt{\Var(Z)}}$.

   En déduire une expression explicite de $\E\left(\left(e^{Z_T} - K\right)_+\right)$ et une technique de variable de contrôle pour le calcul du prix du call. Évaluez par simulation le gain de la méthode pour différentes valeurs de $K$.

   Correction