Semaine "le risque dans tous ses états": Travaux pratiques sur certains risques en finance
Première partie: le risque de modèle
Lorsqu'un actif risqué suit une évolution aléatoire autonome connue (comme le dans le modèle de Black and Scholes), la couverture d'un produit dérivé peut en général être faite de façon exacte. Autrement dit, l'achat ou la vente d'un produit dérivé ne comporte aucun risque.
Bien évidemment, il en est tout autrement en pratique, car la dynamique aléatoire des prix n'est pas parfaitement connue et ne suit pas a priori tel ou tel modèle. L'objectif de cette partie est de comprendre et d'illustrer ce risque. Nous nous placerons dans le modèle binomial de Cox-Ross-Rubinstein. Tout d'abord, nous verrons la stratégie de couverture exacte d'un Call Européen lorsque l'actif suit le modèle. Ensuite, nous observerons que ce modèle converge dans la limite du temps continu vers le modèle de Black-Scholes. Enfin, nous regarderons ce qu'il se passe sur la couverture lorsque le marché évolue avec une volatilité différente de celle anticipée.
Créer un répertoire pour enregister les fichiers du TP. Ouvrir une session scilab ou nsp.
Question 1
Télécharger et exécuter le fichier SR_RM1.sci Ce fichier calcule la stratégie de couverture dans le modèle de Cox-Ross-Rubinstein. Observer numériquement que celle-ci fournit une couverture parfaite. Regarder la composition du portefeuille: que se passe-t-il lorsque l'action est bien en dessous du strike? Faire évoluer la volatilité et le strike. Enfin, regarder ce qu'il se passe lorsque l'on discrétise de plus en plus le temps (N=100, 1000 ...)
Question 2
Télécharger le fichier fonctions_annexes.sci Télécharger et exécuter le fichier SR_RM2a.sci Observer la convergence du prix et de la couverture CRR vers ceux donnés par le modèle de Black-Scholes, lorsque le pas de temps tend vers 0. Télécharger et exécuter le fichier SR_RM2b.sci Ce programme est similaire à SR_RM1.sci, mais la couverture est cette fois-ci calculée avec le modèle de Black-Scholes limite. Observer que l'erreur de couverture est faible dès que N>50.
Question 3
Télécharger le fichier SR_RM3.sci et exécuter le (cela peut prendre quelques secondes). On suppose ici que nous utilisons la couverture du modèle de Black-Scholes avec la volatilité "vol_mod" tandis que l'actif lui suit le modèle CRR avec une volatilité inconnue, que nous supposons de loi uniforme sur [vol_mod-incertitude,vol_mod+incertitude]. Nous traçons alors l'histogramme des gains et pertes et mesurons le risque avec la VaR et la CVaR.
- Regarder ce qu'il se passe lorsque la volatilité inconnue suit une
loi uniforme sur [vol_mod-incertitude,vol_mod] ou [vol_mod,vol_mod+incertitude], c'est à dire que l'on surestime (ou sous-estime) la volatilité. Commenter.
- Tracer l'histogramme pour d'autres lois ayant comme moyenne vol_mod:
- loi lognormale vol_mod*exp(sg*N-0.5*sg2), où sg>0 et N suit une loi normale standard,
- loi exponentielle vol_mod+lambda*(E-1), où vol_mod>lambda>0 et E suit une loi exponentielle de paramètre 1,
- loi de densité 1x>vol_mod/2*vol_mod2/(2*x3).
- Tracer, pour la loi lognormale, la VaR et la CVaR en fonction de sg sur l'intervalle [0,1].
Seconde partie: effets de la titrisation
Dans cette partie, nous allons nous pencher sur des actifs qui ont été mis en cause lors de la crise des subprimes: les CDO. L'objectif est de mesurer le risque de ces produits à l'aide de la VaR et de la CVaR, et d'observer la très grande sensibilité du risque de ces produits. Pour les besoin du TP, nous allons en réalité considérer une version "stylisée" des CDO qui consiste essentiellement à supposer les taux d'intérêts nuls. Pour un processus de pertes L(t) croissant, normalisé à valeurs dans [0,1], une tranche de CDO α%-β% (0≤ a=α/100 < b=β/100 ≤ 1) de maturité T paiera en T la somme (1/(b-a))*min[(L(T)-a)+,b-a]. La première tranche (typiquement 0%-3%) est la plus risquée. Plus a est grand, moins la tranche est risquée.
Question 1
On considère un processus de perte constitué auprès de N_total emprunteurs. Ces emprunteurs sont des particuliers qui ont choisi un prêt à taux variable, si bien que la probabilité de défaut de chacun p est fortement liée au taux d'intérêt en vigueur. L(T) est égal au nombre d'emprunteurs ayant fait défaut avant la date T, divisé par le nombre total d'emprunteur. Quelle est la loi de N_total*L(T)?
- Télécharger et exécuter le fichier SR_TT1a.sci Ce programme trace l'histogramme des pertes d'un vendeur de CDO, et calcule la VaR et la CVaR. Faire varier p: pour quelles valeurs a-t-on une VaR égale à 0 ou 1. Faire varier également les tranches α%-β%. (Attention! histplot provoque une erreur si tous les éléments de loss ont la même valeur.)
- Télécharger et exécuter le fichier SR_TT1b.sci Ce programme trace en fonction de p les mesures de risques associées à différentes tranches. Que constatez vous?
Question 2
On considère désormais un CDO2, c'est à dire un CDO dont le processus de perte est lui même formé de tranches de CDO étudiées en question 1. Plus précisément un CDO2 paye en T la somme (1/(b_sq-a_sq))*min[(L_sq(T)-a_sq)+,b_sq-a_sq], où L_sq(T) est la somme normalisée de M tranches a-b de CDO.
- Télécharger et exécuter le fichier SR_TT2a.sci Ce programme trace l'histogramme des pertes d'un vendeur de CDO2, et calcule la VaR et la CVaR. Faire varier p en prenant les valeurs p=0.025 et p=0.035. Que constatez vous? Jouer avec les différents paramètres (tranches et p).
- On suppose désormais qu'il y a une incertitude sur la probabilité de défaut des emprunteurs, et on s'intéresse au risque compte tenu de cette incertitude. On suppose qu'elle est égale p+sigma ou p-sigma avec probabilité 0.5. Télécharger et exécuter le fichier SR_TT2b.sci. Commenter. Jouer avec les différents paramètres (tranches et p).
- Télécharger et exécuter le fichier SR_TT2c.sci. Ce programme considère une tranche de CDO2 fixe pour différentes tranches de CDO sous-jacents, et trace en fonction de p la VaR et la CVaR associée.
- Télécharger et exécuter le fichier SR_TT2d.sci. Ce programme considère différentes tranches de CDO2 pour des tranches de CDO sous-jacents fixées, et trace en fonction de p la VaR et la CVaR associée. Comparer avec les graphiques donnés par le programme précédent.