Semaine "le risque dans tous ses états": Travaux pratiques sur certains risques en finance


Première partie: le risque de modèle

Lorsqu'un actif risqué suit une évolution aléatoire autonome connue (comme le dans le modèle de Black and Scholes), la couverture d'un produit dérivé peut en général être faite de façon exacte. Autrement dit, l'achat ou la vente d'un produit dérivé ne comporte aucun risque.
Bien évidemment, il en est tout autrement en pratique, car la dynamique aléatoire des prix n'est pas parfaitement connue et ne suit pas a priori tel ou tel modèle. L'objectif de cette partie est de comprendre et d'illustrer ce risque. Nous nous placerons dans le modèle binomial de Cox-Ross-Rubinstein. Tout d'abord, nous verrons la stratégie de couverture exacte d'un Call Européen lorsque l'actif suit le modèle. Ensuite, nous observerons que ce modèle converge dans la limite du temps continu vers le modèle de Black-Scholes. Enfin, nous regarderons ce qu'il se passe sur la couverture lorsque le marché évolue avec une volatilité différente de celle anticipée.

Créer un répertoire pour enregister les fichiers du TP. Ouvrir une session scilab ou nsp.

Question 1
Télécharger et exécuter le fichier SR_RM1.sci Ce fichier calcule la stratégie de couverture dans le modèle de Cox-Ross-Rubinstein. Observer numériquement que celle-ci fournit une couverture parfaite. Regarder la composition du portefeuille: que se passe-t-il lorsque l'action est bien en dessous du strike? Faire évoluer la volatilité et le strike. Enfin, regarder ce qu'il se passe lorsque l'on discrétise de plus en plus le temps (N=100, 1000 ...)

Question 2
Télécharger le fichier fonctions_annexes.sci Télécharger et exécuter le fichier SR_RM2a.sci Observer la convergence du prix et de la couverture CRR vers ceux donnés par le modèle de Black-Scholes, lorsque le pas de temps tend vers 0. Télécharger et exécuter le fichier SR_RM2b.sci Ce programme est similaire à SR_RM1.sci, mais la couverture est cette fois-ci calculée avec le modèle de Black-Scholes limite. Observer que l'erreur de couverture est faible dès que N>50.

Question 3
Télécharger le fichier SR_RM3.sci et exécuter le (cela peut prendre quelques secondes). On suppose ici que nous utilisons la couverture du modèle de Black-Scholes avec la volatilité "vol_mod" tandis que l'actif lui suit le modèle CRR avec une volatilité inconnue, que nous supposons de loi uniforme sur [vol_mod-incertitude,vol_mod+incertitude]. Nous traçons alors l'histogramme des gains et pertes et mesurons le risque avec la VaR et la CVaR.


Seconde partie: effets de la titrisation

Dans cette partie, nous allons nous pencher sur des actifs qui ont été mis en cause lors de la crise des subprimes: les CDO. L'objectif est de mesurer le risque de ces produits à l'aide de la VaR et de la CVaR, et d'observer la très grande sensibilité du risque de ces produits. Pour les besoin du TP, nous allons en réalité considérer une version "stylisée" des CDO qui consiste essentiellement à supposer les taux d'intérêts nuls. Pour un processus de pertes L(t) croissant, normalisé à valeurs dans [0,1], une tranche de CDO α%-β% (0≤ a=α/100 < b=β/100 ≤ 1) de maturité T paiera en T la somme (1/(b-a))*min[(L(T)-a)+,b-a]. La première tranche (typiquement 0%-3%) est la plus risquée. Plus a est grand, moins la tranche est risquée.

Question 1
On considère un processus de perte constitué auprès de N_total emprunteurs. Ces emprunteurs sont des particuliers qui ont choisi un prêt à taux variable, si bien que la probabilité de défaut de chacun p est fortement liée au taux d'intérêt en vigueur. L(T) est égal au nombre d'emprunteurs ayant fait défaut avant la date T, divisé par le nombre total d'emprunteur. Quelle est la loi de N_total*L(T)?
Question 2
On considère désormais un CDO2, c'est à dire un CDO dont le processus de perte est lui même formé de tranches de CDO étudiées en question 1. Plus précisément un CDO2 paye en T la somme (1/(b_sq-a_sq))*min[(L_sq(T)-a_sq)+,b_sq-a_sq], où L_sq(T) est la somme normalisée de M tranches a-b de CDO.