Contents

1 L’optimisation dynamique sans contrainte

On veut résoudre ici un problème, appelé problème d’optimisation de Bolza, et qui se présente sous la forme suivante :

Soit T > 0 (éventuellement T = +∞), on minimise en x₀,…,x_T ∈ ℝⁿ,
et en u₀,…,u_T−1 ∈ ℝ^p, le critère

en tenant compte de la dynamique

(4)

et éventuellement d’un domaine d’admissibilité

(5)

La variable u est la commande, c’est la variable sur laquelle on peut agir. La variable x est l’état : si l’on fixe l’état initial x₀, et si l’on connaît la commande u_t à chaque instant t, alors on peut retrouver l’état x_t à tout instant via la dynamique F.

On cherche

en tenant compte de la dynamique

2 Analyse économique de mesures de prévention du changement climatique

2.1 Coûts et contraintes

Une politique de réduction des émissions de co₂ (gaz à effet de serre) doit arbitrer entre différents coûts et contraintes :

• le coût des dommages futurs des changements climatiques, supposé être une fonction d(M_t,t) de la seule concentration M_t en co₂ ;
• le coût des mesures de réduction des émissions, supposé être une fonction C(a_t,t) du seul abattement a_t ;
• d’éventuelles contraintes imposées à la concentration M_t, du type M_t ≤M.

Cet arbitrage est réalisé sur un certain nombre T (également appelé horizon) de pas de temps (années ou dizaines d’années, qui va ici de 1990 à 2110).

On suppose que les émissions de référence E_t, c’est à dire l’évolution des émissions si aucune mesure n’est prise, sont connues. On dispose de moyens pour réduire à l’instant t les émissions d’une fraction a_tE_t : a_t est appelé abattement. On note M_t la concentration de gaz à effet de serre à l’instant t.

L’objectif consiste à minimiser la somme actualisée (à un taux ρ > 0) des coûts sur l’horizon T, qui forme un critère J, fonction de l’état M_t et de la commande a_t, qui s’écrit de la manière suivante :

(6)

2.2 Coûts d’abattement

Le coût d’abattement s’écrit

(7)

et il est composé de trois facteurs

• un terme dépendant de a_t en αE_ta_t^ν qui est le coût d’abattement ¡¡brut¿¿ ;
• un terme de progrès technique λ(t), où λ est une fonction décroissante vérifiant λ(0) = 1 et lim _t→∞λ(t) = λ (0 < λ < 1).

On prend ici

(8)

Cette fonction simule les conséquences du progrès technique en faisant décroître le coût des mesures de réductions des émissions avec le temps : on considère que les méthodes utilisées s’améliorent avec le temps, d’où des baisses de coût.

2.3 Coûts des dommages

On définit la fonction dommage comme suit :

(9)

où 𝜃 est un réel fixé et M₀ désigne la concentration en CO₂ à l’instant initial.On prendra 𝜃 = 0.0 000 526 unité par ppm.

On rappelle que κ(t) désigne le pib du pays à l’instant t ; il est défini de la manière suivante :

(10)

Le terme correspondant au coût des dommages s’écrit comme le produit du pib κ(t) de référence et d’un indicateur de dommage ξ(M) variant entre 0 et 1, soit :

(11)

2.4 Équation d’état

L’évolution de la concentration en co₂ dans l’atmosphère au cours du temps est modélisée par la dynamique d’accumulation du CO₂ suivante :

(12)

où

• M_−∞ est la concentration en co₂ présent dans l’atmosphère avant l’ère industrielle ;
• M₀ est la concentration initiale en co₂, supposée supérieure à la concentration pré-industrielle (M₀ > M_−∞) ;
• β représente la fraction (0 < β < 1) du co₂ stockée dans l’atmosphère ;
• σ est une fraction (0 < σ < 1) du co₂ réabsorbée par le sol et les océans ;
• E_t représente les émissions de référence, c’est-à-dire l’évolution des émissions si aucune mesure n’est prise, suposées connues (ce sont des données exogènes fournies par des scénarios) ;
• E_t(1 − a_t) représente les émissions restantes après abattement.

2.5 Données

Les valeurs des paramètres utilisés par défaut sont résumées dans le tableau (2.5).

2.6 Un problème d’optimisation dynamique

On est donc amené à considèrer le problème suivant : minimiser le critère

(13)

avec

3 L’optimisation dynamique avec contrainte de borne sur l’état

On veut résoudre ici un problème, semblable au problème étudié précèdemment, mais avec une contrainte de borne sur l’état :

Soit T > 0 ( éventuellement T = +∞), on minimise en x₀,…,x_T ∈ ℝⁿ, et en u ₀,…,u_T−1 ∈ ℝ^p, le critère

en tenant compte de la dynamique

(17)

éventuellement d’un domaine d’admissibilité

(18)

et surtout de la contrainte de borne sur l’état

(19)

La fonction dynoptimsc permet de traiter ce genre de problème.