Jeudi 18 Novembre 2004, à l'Université de Marne-la-Vallée

Auditorium, au rez-de-chaussée du bâtiment Copernic, cf. le plan d'accès
 
Nous organisons une journée sur le thème des équations aux dérivées partielles et de leurs applications en finance.
L'inscription est gratuite mais obligatoire. Le déjeuner sera offert sur place à celles et ceux qui s'inscrivent au plus tard le 10 novembre (cf. la liste des participants).

Le programme est le suivant (voir aussi les résumés en fin de texte):

9h30-10h00: Accueil, café
10h00-10h40: Henri Berestycki (EHESS) "Implied volatility in local and stochastic volatility models"
10h45-11h10: Grégory Rapuch (CREST et EHESS) "Options américaines et problèmes de frontière libre: une approche par les EDP " (transparents)
11h15-11h30: Pause
11h30-12h10: Georg S. Weiss (Tokyo University) "A two-phase obstacle problem" (transparents)

12h15-14h00: déjeuner à l'ENPC

14h00-14h40: Roberto Natalini (CNR, Rome) "Numerical methods for the option pricing in market with jumps" (transparents)
14h45-15h25: Yves Achdou (Université Paris VII) "Quelques remarques sur le pricing des options américaines" (transparents)
15h30-16h00: Pause
16h00-16h25: Marco Papi (CNR, Rome) "A Quadratic Gradient Equation for pricing Mortgage-Backed Securities" (transparents)
16h30-16h55: Yonathan Ebguy (CCF) "Gestion avec coûts de transaction et calcul de variations" (transparents)
17h00-17h25: Etienne Chevalier (Université de Marne-la-Vallée) "Estimations de frontières libres d'options américaines sur plusieurs actifs" (transparents)
 

Cette journée est financée par l'Université de Marne-la-Vallée, l'Ecole Nationale des Ponts et Chaussées,
l'Ecole des Hautes Etudes en Sciences Sociales et l'ACI NIM 2003-83 "EDP et finance".

Liste des résumés
 

Henri Berestycki (Ecole des Hautes Etudes en Sciences Sociales (EHESS), Centre d'Analyse et de Mathématiques Sociales (CAMS))
Titre : Implied volatility in local and stochastic volatility models.
Résumé : Even if the Black Scholes model does not agree with most observed prices of european options, it is still much used as a way of quoting prices in terms of implied volatility. In a given model, in principle, this quantity can be computed by solving the pricing problem and then inverting the Black-Scholes formula. We develop however a new approach by introducing a nonlinear PDE to determine the implied volatility. This approach sheds light on several qualitative properties of implied volatility and, in particular, yields asymptotic formulas as well as efficient numerical methods. The presentation is based on joint work with Jerome Busca and Igor Florent carried in a resarch program at HSBC CCF, Paris.

Grégory Rapuch (Ecole des Hautes Etudes en Sciences Sociales (EHESS), et Centre de Recherche en Economie et Statistique (CREST))
Titre : Options américaines et problèmes de frontière libre: une approche par les EDP
Résumé : Cet exposé a pour objet de donner quelques propriétés qualitatives des options américaines en se basant essentiellement sur des techniques EDP. Nous rappelons notamment que le prix de l'option américaine est solution au sens de viscosité du problème de l'obstacle. Nous démontrons des principes de comparaison et des principes de comparaison stricts pour ces problèmes. Nous en déduisons certaines propriétés comme une localisation de la région d'exercice, la propagation de la convexité dans un cadre non gaussien. Nous étudions aussi l'influence du paramètre de volatilité sur le prix des options américaines.

Georg S. Weiss (Tokyo University)
Titre : A two-phase obstacle problem.
Résumé : (Version Tex) This is a joint work with Henrik Shahgholian and Nina Uraltseva. For the two-phase membrane problem $ \Delta u = {\lambda_+\over 2} \chi_{\{u>0\}} \> - \> {\lambda_-\over 2} \chi_{\{u<0\}}\> ,$ where $\lambda_+> 0$ and $\lambda_->0\> ,$ we prove in two dimensions (i.e. the physical case) that the free boundary is in a neighborhood of each ``branch point'' the union of two $C1$-graphs. We also obtain a stability result with respect to perturbations of the boundary data. Our analysis uses an intersection-comparison approach based on the Aleksandrov reflection.

Roberto Natalini (Consiglio Nazionale delle Ricerche (CNR), Rome)
Titre : Numerical methods for the option pricing in market with jumps
Résumé : Models with jumps are now widely used in option pricing. To deal with these models, it is very important to have reliable numerical schemes to compute the solutions of related integro-differential equations. Here we present a general approach for this numerical analysis, and we shall present a quite general convergence theory in the viscosity solutions framework. Also, we shall discuss the IMEX (Implicit-Explicit) strategy to design stable schemes under weak stability time-step restrictions.

Yves Achdou (Université Paris VII)
Titre : Quelques remarques sur le pricing des options américaines.
Résumé : On s'intéressera à des méthodes déterministes pour le pricing d'options américaines, et en particulier à différents aspects des méthodes numériques: estimations d'erreur a posteriori, adaptation de maillage, méthode de résolution.

Marco Papi (Consiglio Nazionale delle Ricerche (CNR), Rome)
Titre : A Quadratic Gradient Equation for pricing Mortgage-Backed Securities
Résumé : In this talk I derive a new equilibrium model for pricing Mortgage-Backed Securities. We show that the price can be represented as the solution of a degenerate parabolic semilinear equation with a quadratic gradient term. We state existence, uniqueness and regularity results in the framework of viscosity solutions. These results allow a complete justification of the model. We also discuss a convergence result of a numerical scheme to the solution of the equation.

Yonathan Ebguy (CCF)
Titre : Gestion avec coûts de transaction et calcul de variations
Résumé : En présence de coûts de transaction, la gestion d'un portefeuille action/obligation ne peut se contenter d'appliquer la théorie de Markowitz. A l'aide d'outils sophistiqués d'analyse fonctionnelle dont la Gamma convergence plutot rare en finance, nous démontrons dans ce cadre l'existence d'une stratégie maximisant l'utilité logarithmique de l'investisseur en régime stationnaire. C'est une stratégie de type bang-bang qui consiste en deux choses : - lorsque la proportion de l'actif risqué est incluse dans un intervalle dit de continuation, on laisse diffuser. - dès que la diffusion l'amènerait à en sortir, on vend ou on achète de l'actif risqué pour ramener sa proportion à la borne la plus proche de l'intervalle. Nous exhibons une formule approchée des bornes de l'intervalle, nous étudions leurs sensibilités aux paramètres de diffusion, et nous comparons cette stratégie à d'autres. Enfin, nous montrons comment ce travail peut être utile pour des problèmes de pricing et de couverture d'options.

Etienne Chevalier (Université de Marne-la-Vallée)
Titre : Estimations de frontières libres d'options américaines sur plusieurs actifs
Résumé : La fonction de valeur d'une option américaine est la solution d'un problème à frontière libre qui peut être formulé sous la forme d'une inéquation variationnelle. Pour le put américain, si l'on dispose d'une estimation de la différence entre fonction de valeur et fonction de pay-off près de la frontière, il est relativement facile d'en déduire une estimation de la frontière libre car l'inéquation variationnelle satisfaite par la fonction de valeur nous permet de contrôler ses dérivées. L'objet de cet exposé est de présenter une méthode permettant dans certains cas, d'étendre ces estimations aux put américains portant sur une combinaison linéaire de plusieurs actifs. En effet, lorsque l'on considère une option sur plusieurs actifs, l'inéquation variationnelle ne donne plus suffisamment d'informations sur les dérivées de la fonction de valeur. Nous surmontons ce problème en utilisant un principe du maximum associé au générateur infinitésimal du processus de prix des actifs. En utilisant cette méthode, nous pouvons obtenir une estimation de la frontière libre au voisinage de la maturité de l'option. Nous pouvons également évaluer la vitesse de convergence de la frontière libre d'une option bermudéenne vers celle d'une américaine lorsque le nombre de dates d'exercice permis par l'option bermudéenne tend vers l'infini.