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Calcul des probabilités
Théorèmes limites

Jean-Baptiste Henniart
(last modification date: October 10, 2017)
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Contents

1 Loi forte des grands nombres

Soit (Xn)n1 une suite de variables aléatoires identiquement distribuées, indépendantes et intégrables. Alors les moyennes partielles convergent presque sûrement et en moyenne (dans L1) vers la constante m = 𝔼(X1), soit

X1-+--...+-Xn--  p.s.
      n       → n→ ∞ m

Question 1

  • Tirer N réalisations indépendantes X1,...,XN d’une loi exponentielle.
  • Tracer le graphique donnant n↦→X1+...+Xn--
   n pour n [1,N].
  • Qu’observe-t-on ? Est-ce cohérent avec la loi forte des grands nombres ?

Question 2 Reprendre les questions précédentes avec une loi uniforme puis une loi normale à la place d’une loi exponentielle.

Question 3 Reprendre les questions précédentes avec une loi de Cauchy de paramètre a = 1.

Qu’observe-t-on ?

2 Théorème de la limite centrale

Soit (Xn)n > 1 une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de carré intégrable. Si m = 𝔼(X1) désigne la moyenne commune des Xn et Sn = k=1nX k, alors

Sn − nm     ℒ
--√------→  n→∞  N (0, 1)
    nσ

Question 4 Vérifier le théorème de la limite centrale à l’aide d’une procédure Scilab que vous écrirez, et ce pour plusieurs des lois que vues auparavant: loi uniforme, exponentielle...

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