Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires identiquement distribuées, indépendantes et
intégrables. Alors les moyennes partielles convergent presque sûrement et en moyenne (dans L1)
vers la constante m = 𝔼(X1), soit
Question 1
Tirer N réalisations indépendantes X1,...,XNd’une loi exponentielle.
Tracer le graphique donnant npour n ∈ [1,N].
Qu’observe-t-on ? Est-ce cohérent avec la loi forte des grands nombres ?
Question 2Reprendre les questions précédentes avec une loi uniforme puis une loi normaleà la place d’une loi exponentielle.
Question 3Reprendre les questions précédentes avec une loi de Cauchy de paramètrea = 1.
Qu’observe-t-on ?
2 Théorème de la limite centrale
Soit (Xn)n> 1 une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de carré
intégrable. Si m = 𝔼(X1) désigne la moyenne commune des Xn et Sn = ∑k=1nXk,
alors
Question 4Vérifier le théorème de la limite centrale à l’aide d’une procédure Scilab quevous écrirez, et ce pour plusieurs des lois que vues auparavant: loi uniforme, exponentielle...