On étudie, en économie, un marché correspondant à un produit donné P. On connaît,
pour P, la courbe de demande de l’ensemble des consommateurs en fonction du prix
de vente, ainsi que la courbe d’offre de la part des producteurs en fonction du prix
d’achat.
La courbe de demande est la suivante :
(1)
et la courbe d’offre est
(2)
Les allures de ces courbes sont représentées sur les graphiques 1 et 2.
Figure 1: Courbe de demande en fonction du prix d’achat
Question 1Trouver le prix d’équilibre p⋆du produit P sur le marché étudié. On prendrak0 = 10, k1 = 150, et α = .
Figure 2: Courbe d’offre en fonction du prix de vente
2 L’optimisation statique avec linpro et optim
2.1 Un exemple de programmation linéaire
Voici un petit exemple illustrant ce qu’est la programmation linéaire. Un boulanger fabrique de
la brioche et du pain viennois, désignés respectivement par X et Y . Il dispose pour
cela de farine A en quantité a, de beurre B en quantité b et de sucre C en quantité
c.
On suppose la linéarité de la production : x unités de X et y unités de Y exigent uA = 5x + 4y
unités de A, uB = x + 2y unités de B, et uC = 3x + 2y unités de C.
La matrice M suivante résume les quantités de ressources nécessaires pour produire une unité
de X ou de Y :
et
La limitation des ressources se traduit donc par les contraintes
avec a = 80, b = 24, c = 36.
À ces trois contraintes, on peut rajouter les deux contraintes
Enfin on suppose que le boulanger vend sa brioche X à un prix p et son pain brioché à un prix
q, que l’on supposera tous deux indépendants de la quantité vendue, et on considère qu’il vend
tout ce qu’il produit. On prendra p = 40 et q = 50.
Le boulanger veut maximiser son chiffre d’affaire C = px + qy, tout en étant contraint de
n’utiliser que ce qu’il a en stock ; il est donc confronté au problème suivant :
Question 2En utilisant la fonction linpro de Scilab, résoudre le problème de notreboulanger.
Question 3Quel sont les constituants limitants ? Quelles sont leurs valorisationsmarginales respectives ?
2.2 Une minimisation de forme quadratique
On modélise simplement une poutre, soumise à un chargement uniforme, par une succession de
2N + 1 barres rectilignes Bi de longueur r, reliées entre elles par des ressorts Ri exercant un couple
de torsion −ki𝜃i. Pour modéliser le chargement, on suppose qu’une masse ponctuelle m est
disposée sur chaque noeuds Pi, entre les barres Bi−1 et Bi. Les extrémités de la poutre sont
libres.
On suppose le nombre de barres impair, et la symétrie du modèle par rapport à l’axe δ (figure
3).
Le détail du paramètrage est précisé sur la figure 4.
Figure 3: Modélisation de la poutre et de son chargement
Figure 4: Paramètrage des angles
L’énergie du ressort Ri est
On supposera de plus que la masse étant relativement faible par rapport aux raideurs des
couples de torsion, on peut se placer dans l’approximation des petits angles pour les αi pour
i ∈{0…N}.
Question 4En utilisant la fonction quapro de Scilab, déterminer la position de la poutreaprès chargement, i.e. les αipour i ∈{0…N}.
On prendra :
N = 3, r = 1 ;
m = 1, g = 10 ;
ki = k = 400 ∀i ∈{1…2N} ;
2.3 Une minimisation de fonction différentiable
On considère le problème suivant :
Un homme de masse m saute dans un gouffre. Il est relié à deux élastiques E1 et E2, de
raideurs respectives k1, k2, et de longueurs à vide l1, l2. Les points d’ancrage des élastique sont
diamètralement opposés et distants de L.
Figure 5: Le cascadeur dans son gouffre
On suppose le goufre suffisamment profond (pas de borne max en y), on considère que le
problème est plan, et on étudie la position d’équilibre de notre cascadeur.
On prendra :
k1 = 15, k2 = 30,
l1 = 25, l2 = 40,
m = 70, g = 10,
L = 10.
Question 5En utilisant la fonction optim de Scilab, déterminer la position d’équilibre denotre homme.
